Теорема о среднем значении. Доказательство.

[bitcoin]

Теорема о среднем значении для двойного интеграла утверждает, что если функция $ f(x, y) $ непрерывна на некоторой замкнутой и ограниченной области $ D $ в $\mathbb{R}^2$, то существует такая точка $ (x_0, y_0) \in D $, что выполняется следующее равенство:
$\displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = f(x_0, y_0) \cdot S(D)$, где $ S(D) $ обозначает площадь области $ D $.

Доказательство:

1. Пусть $ m $ и $ M $ — минимальное и максимальное значения функции $ f(x, y) $ на области $ D $, соответственно. Тогда по теореме Вейерштрасса $ m \leq f(x, y) \leq M $ для всех $ (x, y) \in D $.

2. Умножим эти неравенства на $ S(D) $ и проинтегрируем по области $ D $:
$ m\cdot S(D) \leq \displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy \leq M\cdot S(D)$

3. По Больцано-Коши, существует $ f(x_0, y_0) $ такое, что:
$f(x_0, y_0) S(D) = \displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$, где $ (x_0, y_0) $ — некоторая точка внутри $ D $.

Вопрос в том -- можно ли считать такое доказательство и формулировку полной? Или здесь что-то не обосновано?

[drzewo]

C доказательством все ok. Но кто-то может возбудиться от фразы <<замкнутая область>>

[mathematician123]

bitcoin в сообщении #1642257 писал(а):

1. Пусть $ m $ и $ M $ — минимальное и максимальное значения функции $ f(x, y) $ на области $ D $, соответственно. Тогда по теореме Вейерштрасса $ m \leq f(x, y) \leq M $ для всех $ (x, y) \in D $.

Странная формулировка. Неравенство $ m \leq f(x, y) \leq M $ выполнено по определению максима и минимума, теорема Вейерштрасса здесь не нужна. Но она нужна для доказательства существования $m, M$. Я бы как-то так написал: по теореме Вейерштрасса существуют конечные $m$ и $M$ - минимальное и максимальное значения функции $ f(x, y) $ на области $ D $, соответственно. Тогда $ m \leq f(x, y) \leq M $ для всех $ (x, y) \in D $.

[bitcoin]

Dan B-Yallay в сообщении #1642265 писал(а):

Теорема Больцанo-Коши формулируется для функции. Вы применяете её для определённого интеграла (который есть число). Обосновать сможете?

Спасибо, хороший вопрос. Теорема Больцанo-Коши формулируется для функции $g(x,y)=C$, где $C= \displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$. Так как $f(x,y)$ непрерывна и ограничена на $D$, то $\displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$ существует и это действительно константа. Возможно, что тут немного неправильно понимаю.

-- 11.06.2024, 23:43 --

mathematician123 в сообщении #1642267 писал(а):

Странная формулировка. Неравенство $ m \leq f(x, y) \leq M $ выполнено по определению максима и минимума, теорема Вейерштрасса здесь не нужна. Но она нужна для доказательства существования $m, M$. Я бы как-то так написал: по теореме Вейерштрасса существуют конечные $m$ и $M$ - минимальное и максимальное значения функции $ f(x, y) $ на области $ D $, соответственно. Тогда $ m \leq f(x, y) \leq M $ для всех $ (x, y) \in D $.

Понял ошибку, действительно, как-то немного криво я написал. Спасибо.

-- 11.06.2024, 23:45 --

drzewo в сообщении #1642263 писал(а):

Но кто-то может возбудиться от фразы <<замкнутая область>>

А что не так с замкнутой областью? Или она не обязана быть замкнутой?)

[dgwuqtj]

bitcoin в сообщении #1642269 писал(а):

А что не так с замкнутой областью? Или она не обязана быть замкнутой?)

Областями называют связные открытые подмножества. А у вас замкнутое ограниченное подмножество, оно же компактное подмножество. Если интеграл не Лебега, а Римана, то ещё нужна какая-нибудь измеримость по Жордану.

[drzewo]

Да, уж. Если на то пошло, то вместо Больцано-Коши надо вспоминать о том, что образ связного множества при непрерывном отображении, есть есть связное множество, и образ компакта -- компакт. А связный компакт в $\mathbb{R}$ это отрезок.
<<Замкнутая область>> встречается в текстах Бесова и Шабата. Это просто замыкание обычной, открытой области.

[мат-ламер]

bitcoin в сообщении #1642257 писал(а):

3. По Больцано-Коши, существует $ f(x_0, y_0) $ такое, что:
$f(x_0, y_0) S(D) = \displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$, где $ (x_0, y_0) $ — некоторая точка внутри $ D $.

А что за теорема такая? Ссылочку не дадите?
Вы нигде не используете связность пространства. А если пространство несвязно, то теорема несправедлива.
А для линейно связных пространств можно привести простое доказательство без интегралов. Соединим точки, на которых достигаются экстремальные значения, непрерывным путём. Параметризуем его. Получим одномерную непрерывную функцию. Дальше очевидно.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1642381 писал(а):

А что за теорема такая? Ссылочку не дадите?
Вы нигде не используете связность пространства.

Именно тут и использует. Область - связное множество, по определению. Теорема о промежуточных значениях (Больцано-Коши) как раз для связных и работает, как вы верно подметили.

[мат-ламер]

Извините, придрался к несущественной мелочи.

bitcoin в сообщении #1642257 писал(а):

По Больцано-Коши, существует $ f(x_0, y_0) $

Мне подумалось, что там должно существовать $(x_0,y_0)$, такое что $m\le f(x_0,y_0) \le M$ (для начала). Но сойдёт и так.

-- Чт июн 13, 2024 06:23:21 --

Combat Zone в сообщении #1642403 писал(а):

Именно тут и использует. Область - связное множество, по определению. Теорема о промежуточных значениях (Больцано-Коши) как раз для связных и работает,

Мне показалось, что о теореме Больцано-Коши говорят обычно в одномерном случае. А в многомерном можно сказать, что имеет место аналог теоремы Больцано-Коши или обобщённая теорема Больцано-Коши.
Но, понял, что всё это придирки по мелочам. Однако ТС своим вопросом:

bitcoin в сообщении #1642257 писал(а):

Вопрос в том -- можно ли считать такое доказательство и формулировку полной? Или здесь что-то не обосновано?

спровоцировал такую придирку. Создалось впечатление, что во время сессии на экзамене экзаменаторы остались чем-то недовольным. И ТС спрашивает, а чем именно они могли быть недовольными? В принципе можно чуть по подробнее расписать. Но не суть.