Найдите ошибку в док-ве ВТФ

[voroninv]

Найдите, пожалуйста, ошибку в приведённом ниже доказательстве.

Цитата:

Советую тем, кто вовсе не чужд математики, проверить выкладки Ильина наедине с бумажным листом. Возможно, это потребует от вас некоторого напряжения, но оно будет вознаграждено, возможно, вы станете свидетелями рождения чуда.
Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении X^n + Y^n = Z^n, то Z, при n больше 2, — всегда не целое. Прежде чем браться за Ферма, повторим теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X^2 + Y^2 = R^2, где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое. Попробуем доказать. Понятно, Z не равно R при одних и тех же X, Y. Легкодоказуемо алгебраически, да и просто логически, что Z всегда меньше, чем R. Когда мы возводим X и Y в более высокую степень, то умножаем их на самих себя. Потом их складываем и получаем Z в той же степени n. А при возведении в нее R каждое из слагаемых надо умножить на R, которое больше, чем X и Y.
К примеру, R^3 = (X^2 + Y^2)R = X^2R+Y^2R.
Что делает Ильин? Ничего особенного. Записывает длины сторон треугольника XYR в тригонометрическом виде: X = R \sin A, Y = R \cos A. А значит, Z^n = X^n + Y^n = R^n (\sin A + \cos A). Что такое корень, вы не забыли?
Отлично. Z = R \sqrt[n]{\sin A + \cos A}. Ранее мы доказали, что Z всегда меньше R, стало быть, \sin A + \cos A < 1. Такую тригонометрическую функцию можно найти в любом учебнике математики старших классов и убедиться по графику или таблице, что если значение функции < 1, то угол A больше 60 и меньше 90 градусов. А что произойдет в этом случае с прямым углом В, находящимся между катетами? Он больше уже не будет прямым и окажется в тех же пределах: 60^\circ < B < 90^\circ. Недаром ведь «девяносто, шестьдесят, девяносто» считается идеалом гармонии. Это глупая шутка, чтобы вы немного расслабились. Потому что мы уже близки к финишу. Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B. Рассмотрим выражение. При 60^\circ < B < 90^\circ \cos B — число не целое. А значит, и Z неминуемо является таковым при целых значениях X и Y. Что и требовалось доказать.

Источник: http://2005.novayagazeta.ru/nomer/2005/ ... -s00.shtml

[Brukvalub]

В генах у Ильина ошибка - в генах! И весь этот текст - одна большая ошибка!

[AD]

Знамениииитый баян ... Когда я поступил на первый курс, на первом же семинаре по аналитической геометрии преподаватель пришел с этой газетой, отксеренной на всю группу, и предложил быстренько найти ошибку.

После кучи всякой бессмысленной мути в конце концов делается неверный переход:

voroninv в сообщении #163980 писал(а):

При $60^\circ < B < 90^\circ$ $\cos B$ — число не целое. А значит, и $Z$ неминуемо является таковым при целых значениях $X$ и $Y$.

[Nilenbert]

А нам похожее "доказательство" в маткружке давали на разбор

[zoo]

клиника начинается несколько раньше

voroninv в сообщении #163980 писал(а):

$X = R \sin A, Y = R \cos A.$ А значит,$ Z^n = X^n + Y^n = R^n (\sin A + \cos A)$. Что такое корень, вы не забыли?

[AD]

zoo, да, но это очепятка в газете, насколько я помню. Там рядом фотография доски - на ней степени на месте. А, вообще, да, может, и раньше есть баги, но всё предыдущее рассуждение вообще не нужно. Автор мог сразу сказать, что раз

voroninv в сообщении #163980 писал(а):

$Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B$

, то косинус равен то ли нулю, то ли плюс/минус единице, иначе $Z$ не целое - всё доказательство сводится ведь к этому, да?

[zoo]

AD писал(а):

zoo, да, но это очепятка в газете, насколько я помню. Там рядом фотография доски - на ней степени на месте. А, вообще, да, может, и раньше есть баги, но всё предыдущее рассуждение вообще не нужно. Автор мог сразу сказать, что раз

voroninv в сообщении #163980 писал(а):

$Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B$

, то косинус равен то ли нулю, то ли плюс/минус единице, иначе $Z$ не целое - всё доказательство сводится ведь к этому, да?

конечно, fatal error именно здесь

[voroninv]

А я долго тупил над тем правда ли Z<R, т. е. (X^n+Y^n)^{1/n}<(X^2+Y^2)^{1/2}, потом в соседнем топике, где прикалывается Семен нашел коротенькое доказательство этого (by Brukvalub, по-моему). Но потом понял что и Ильин это неплохо доказывает

Цитата:

К примеру, R^3=(X^2+Y^2)R=X^2R+Y^2R>X^3+Y^3=Z^3

и т. д.
Вообще, кстати, непонятно, будет ли существовать треугольник со сторонами X, Y и Z.
Ну и, конечно, конец доказательства Ильин смазал

[zoo]

а разве могло быть иначе?

[yk2ru]

Цитата:

Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении X^n + Y^n = Z^n, то Z, при n больше 2, — всегда не целое. Прежде чем браться за Ферма, повторим теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X^2 + Y^2 = R^2, где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое.

"где X, Y, R — целые числа". Почему R должно быть целым?

[voroninv]

yk2ru в сообщении #164056 писал(а):

Почему R должно быть целым?

Это первый косяк, но дальше не используется, что R - целое.

[yk2ru]

Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса, а просто сумма синуса и косинуса может оказаться большей единицы.

[Brukvalub]

yk2ru в сообщении #164115 писал(а):

Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса

Вторых степеней?

[yk2ru]

Brukvalub писал(а):

yk2ru в сообщении #164115 писал(а):

Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса

Вторых степеней?

Степеней $n$ (три и более), которые при напечатании статьи потеряли.

[voroninv]

Что-то я вот сходу не нарисую график функции \sin^n A +\cos^n A.
И даже формулы я такой не помню (да и здесь в разделе для формул нету), хотя вроде было что-то такое.