Способ построить любую группу?

[B@R5uk]

Пусть имеется множество групп, содержащее в качестве начального состояния только группу $\mathbb{Z}_2$. Над группами этого множества разрешено производить следующие действия:

• Взять две любые группы (или одну дважды) и построить декартово произведение;
• Взять любую группу и построить группу её автоморфизмов;
• Взять любую группу и построить группу, изоморфную её любой подгруппе.

При этом результат любого из этих действий добавляется во множество, тем самым расширяя его. Вопрос: можно ли этими действиями построить любую конечную группу и, тем самым, получить множество всех конечных групп?

Мои соображения такие: раз есть прямое произведение, то можно построить группу $\mathbb{Z}_2^k$. Её группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_2^k\right)$ должна содержать элемент, который циклически переставляет k образующих группы $\mathbb{Z}_2^k$, следовательно порядок этого элемента k и группа автоморфизмов содержит подгруппу $\mathbb{Z}_k$. Дальше, любая конечная абелева группа раскладывается в прямое произведение нескольких циклических групп. То есть, операций выше достаточно чтобы построить хотя любую конечную абелеву группу. Это уже не плохо.

На этом, правда, у меня тупик. Если бы можно было указать надёжный способ взять автоморфизм от какой-то группы, чтобы он содержал группу перестановок $S_k$, то тогда по теореме Кэли ответ задачи будет положительным. Однако, главным инструментом здесь будет построение группы автоморфизмов, очень ёмкая во многих смыслах операция. В связи с этим встают такие промежуточные вопросы:

• Существует ли группа, которая не встречается как подгруппа ни в одной группе автоморфизмов конечных групп?

Или более слабое утверждение:

• Существует ли группа, которая не является подгруппой ни одной группы автоморфизмов конечных абелевых групп?

В случае положительного ответа на первый вопрос ответ на вопрос исходной задачи будет отрицательный. Отрицательный ответ в тоже время ничего не гарантирует, так как тут может быть как в ситуации с сепульками. Как бы то ни было, вопрос минимального контрпримера в обоих случаях (если он существует) тоже будет интересным. Разумеется, я даже не знаю с какой стороны к этим задачам подобраться.

[dgwuqtj]

Используйте теорему Кэли.

[B@R5uk]

dgwuqtj применительно к которому вопросу? Объясните, пожалуйста, по-подробней как использовать.

[dgwuqtj]

А, я невнимательно прочитал. Почему нельзя взять подгруппу $\mathrm S_k \leq \mathrm{Aut}(\mathbb Z_2^k)$, которая переставляет сомножители?

[B@R5uk]

О! Так это работает всё-таки в общем случае.

Интересно теперь указать минимальную последовательность операций для каждой группы. Но это больше задача программирования, чем математики, наверное.

Или ещё вот. Если выкинуть декартово произведение из допустимых операций, то для всякой ли начальной группы множество будет ограниченным после применения двух других во всевозможных комбинациях?

-- 02.06.2024, 23:08 --

Интересно ещё, как быстро растёт порядок $\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_2^k\right)$ с ростом k?

[dgwuqtj]

Насчёт того, что будет без произведений, не знаю, но без произведений и подгрупп это открытая проблема https://mathoverflow.net/questions/27861/periodic-automorphism-towers. Группа автоморфизмов $\mathbb Z_2^k$ - это полная линейная группа $\mathrm{GL}(2, k)$, в ней $(2^k - 1) (2^k - 2) (2^k - 4) \ldots (2^k - 2^{k - 1})$ элементов.

Хотя, кажется, придумал. В этой $\mathrm{GL}(2, k)$ есть подгруппы вида $\mathbb Z^{l (k - l)}_2$ для всех $0 \leq l \leq k$. Это абелевы унипотентные радикалы параболических подгрупп, ну или просто блочные матрицы вида $\bigl(\begin{smallmatrix}I_l & * \\ 0 & I_{k - l}\end{smallmatrix}\bigr)$. Так что из $\mathbb Z_2^k$ при $k \geq 5$ можно построить все конечные группы взятием групп автоморфизмов и подгрупп.

[B@R5uk]

Вах, как далеко теория проработана! Просто сформулированный рандомный вопрос уже имеет ответ. Где-бы про эти линейные группы почитать что-нибудь доступное? На уровне 1-2 курса технарского ВУЗа. А то я как-то ткнулся одну более-менее современную книгу по группам освоить все понятия с азов, а там автор начинает с того, что функция — это множество упорядоченных пар и сразу теорию и задачки на это без всякого объяснения что к чему и в чём смысл. Чёткие определения, конечно, иметь хорошо, но всё хорошее в меру.

[dgwuqtj]

Если хочется менее абстрактные вещи, то есть Артин, Геометрическая алгебра и Grove, Classical groups and geometric algebra. Единственно, что сейчас геометрической алгеброй называют что-то чуть другое. А современную теорию групп можно десятки лет осваивать, там же и CFSG, и алгебраические группы, и комбинаторная теория групп.