Комплексная функция (Алгебра I)

[gefest_md]

Из учебника Liret, Martinais, Algèbre, 1re année, 2e édition. Задача имеет несколько пунктов. Вопрос касается указания к последнему пункту. Процитирую пункт, по поводу которого нет вопросов, и указание к нему. Текст, вызывающий вопрос, выделен. Имеет ли отношение выделенный текст к решению пункта d)?

Цитата:

13. Пусть $a\in\mathbb{C},$ $|a|<1.$ Положим $D=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|\leqslant 1\}$ и $\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}.$
...
d) Пусть $f_a\colon D\to D$, $f_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}.$ Покажите, что $f_a$ биекция и что $f_a(\mathbb{U})=\mathbb{U}.$
——-
Указание. d) Противоположная (réciproque) биекция к $f_a$ есть $f_{-a}.$ По пункту (c), $f_a(\mathbb{U})=\mathbb{U}.$ Если $b$ комплексное число такое, что $|b|<1,$ то вы можете проверить, что существует комплексное число $c$ такое, что $|c|<1$ и $f_b\circ f_a=f_c.$ Имеем $f_0=\text{id}_D.$

Попытка нахождения $c.$

$$\begin{multiline*}(f_b\circ f_a)(z)&=f_b\left(\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right) \\ =\frac{\frac{z-a}{1-\bar{a}z}-b}{1-\bar{b}\cdot\frac{z-a}{1-\bar{a}z}}\\ =\frac{z-a-b+z\bar{a}b}{1-z\bar{a}-z\bar{b}+a\bar{b}}\\ =\frac{1+\bar{a}b}{1+a\bar{b}}\times\frac{z-\frac{a+b}{1+\bar{a}b}}{1-z\cdot\frac{\bar{a}+\bar{b}}{1+a\bar{b}}} \end{multiline*}$$

$1-\bar{a}z\not=0$ - задача пункта b).

Модуль первой дроби равен $1.$ Но $c$ не просматривается.

[dgwuqtj]

Ну так такого $c$ и нет, получается. Вот дробно-линейные преобразования вида $z \mapsto \lambda \frac{z - a}{1 - \overline a z}$ при $|a| < 1$ и $|\lambda| = 1$ уже образуют группу. Это группа движений плоскости Лобачевского (как модели Пуанкаре в круге), сохраняющих ориентацию.

[gefest_md]

dgwuqtj
Спасибо!