Как найти ранг матрицы в кольце Zₙ?

[bublikov]

Есть задача найти ранг матрицы над кольцом $\mathbb{Z}_{12}$. Как определяется ранг матрицы над кольцом с делителями нуля? Над полем ранг обычно определяют как размерность линейной оболочки строк или столбцов. Но в случае с кольцом не ясно, как определяется линейная независимость, базис и размерность. Критерий с определителем тоже не работает. Например, в $\mathbb{Z}_{12}$ строки $(2, 0)$ и $(0, 3)$ вроде как линейно зависимые: $6(2, 0)+4(0, 3)=(0, 0)$, но их определитель ненулевой.

[dgwuqtj]

По-разному там ранг определяется. Можно как наименьшее количество образующих в модуле, порождённом строками или столбцами, можно как размер наибольшей обратимой подматрицы, можно взять тензорный ранг (наименьшее количество произведений столбцов на строки, дающих в сумме вашу матрицу). Если матрица достаточно хорошая, то все эти ранги совпадают.

Причём неоднозначность возникает и над локальными кольцами, и над областями целостности, и над произведениями полей.

[bublikov]

dgwuqtj в сообщении #1640102 писал(а):

Можно как наименьшее количество образующих в модуле, порождённом строками или столбцами,

А как можно найти эти образующие? Приводить матрицу к ступенчатому виду обычным методом гаусса не получается, так как могут быть необратимые элементы.

[dgwuqtj]

bublikov в сообщении #1640105 писал(а):

А как можно найти эти образующие? Приводить матрицу к ступенчатому виду обычным методом гаусса не получается, так как могут быть необратимые элементы.

Вообще, если подумать, для хороших колец (а $\mathbb Z / 12 \mathbb Z$ в принципе довольно хорошее) вместо ранга надо смотреть на классы эквивалентности матриц при домножении с обеих сторон на обратимые. Для кольца $\mathbb Z$ есть нормальная форма Смита, она же позволяет диагонализовывать матрицы над кольцами вычетов. Наверное, для диагональных матриц можно посчитать ранг при любом разумном определении. На всякий случай, минимальное количество образующих в подмодуле, порождённом столбцами, — это не то же самое, что наименьшее количество столбцов, через которые линейно выражаются все остальные.

[vpb]

bublikov в сообщении #1640105 писал(а):

А как можно найти эти образующие? Приводить матрицу к ступенчатому виду обычным методом гаусса не получается, так как могут быть необратимые элементы.

Можно рассматривать лишь элементарные преобразования типов I и III, т.е. перестановку строк и прибавление к одной строке другой строки, умноженной на коэффициент. В случае, если кольцо является кольцом главных идеалов, матрицу такими преобразованиями можно привести к ступенчатому виду. Число ненулевых строк --- это и будет то число образующих.

А если допустить такие же преобразования и над столбцами, то и к диагональному, причем последовательные элементы диагонали будут делить один другого.

А если у Вас задача найти ранг (откуда задача ?), то в том источнике и определение должно быть, в каком смысле ранг.

P.S. Коллега примерно то же и написал...

[bublikov]

vpb в сообщении #1640112 писал(а):

А если у Вас задача найти ранг (откуда задача ?), то в том источнике и определение должно быть, в каком смысле ранг.

Знакомому дали задачу в универсиете. Никаких пояснений нет.

dgwuqtj в сообщении #1640111 писал(а):

Для кольца $\mathbb Z$ есть нормальная форма Смита, она же позволяет диагонализовывать матрицы над кольцами вычетов

Матрица прямоугольная 4x5. Диагонализировать не получится.

А какой ранг у этой матрицы в $\mathbb{Z}_{12}$?
$\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

-- 24.05.2024, 00:45 --

Есть ли модуле строк над кольцом $Z_{12}$ какие-то аналоги линейной зависимости/независимости?

[tolstopuz]

bublikov в сообщении #1640098 писал(а):

Например, в $\mathbb{Z}_{12}$ строки $(2, 0)$ и $(0, 3)$ вроде как линейно зависимые: $6(2, 0)+4(0, 3)=(0, 0)$

Можно даже сказать, что строка $(2)$ вроде как линейно зависима, потому что $6(2)=(0)$.

[dgwuqtj]

bublikov в сообщении #1640115 писал(а):

Матрица прямоугольная 4x5. Диагонализировать не получится.

Нормальная форма Смита всегда есть, диагонализовать можно. Над полем, например, любая матрица сводится к такой: везде нули, кроме некоторого количества единиц на главной диагонали (исходящей из верхнего левого угла), даже если диагональ не попадает в противоположный угол.

bublikov в сообщении #1640115 писал(а):

А какой ранг у этой матрицы в $\mathbb{Z}_{12}$?
$\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Так вот от определения зависит. Тензорный ранг равен 2: если $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & d\end{pmatrix}$, то $b$ и $d$ нечётные, $a$ и $c$ чётные, и тогда $ac \neq 2$. Модуль, порождённый строками или столбцами, изоморфен $\mathbb Z / 2 \mathbb Z \oplus \mathbb Z / 4 \mathbb Z \oplus \mathbb Z / 3 \mathbb Z$, у него минимум 2 образующие. Минимальное количество строк или столбцов, которыми он порождается, тоже равен 2. А максимальный размер обратимой подматрицы вообще равен 0. Если ориентироваться на литературу, то я встречал что-то такое только в Вавилов, Конкретная теория колец, и там "правильным" считается тензорный ранг.

tolstopuz в сообщении #1640116 писал(а):

Есть ли модуле строк над кольцом $Z_{12}$ какие-то аналоги линейной зависимости/независимости?

Как и в любом модуле над ассоциативным кольцом с единицей, почему бы и нет. Просто это не сильно полезное понятие.