Базовый факт из теории меры

[YuryS]

Как показать, что
$\sum\limits_{n=1}^{M} vol(I_{n}) \leqslant \sum\limits_{l=1}^{N} vol(J_{l})$,
где $\left\lbrace I_{n} \right\rbrace_{n=1}^{M}$ есть конечное семейство попарно неперекрывающихся (т.е., соприкасающихся, возможно, только по границам) прямоугольников в $\mathbb{R}^{n}$,
а $\left\lbrace I_{l} \right\rbrace_{l=1}^{N}$ есть конечное семейство прямоугольников, покрывающих множество $\cup_{n=1}^{M} I_{n}$ ?
Объем прямоугольников $vol(I)$ в $\mathbb{R}^{n}$ вычисляется обычным образом.
В учебниках имеется (довольно сложное) доказательство аналогичного факта для одного прямоугольника, т.е., что
$vol(I) \leqslant \sum\limits_{l=1}^{N} vol(J_{l})$.
Но как показать этот факт для конечного семейства $\left\lbrace I_{n} \right\rbrace_{n=1}^{M}$ ?
В чем тут главная идея ? Видимо, в каком-то хитром разбиении того или иного (или обоих вместе) семейства прямоугольников ?

[dgwuqtj]

Обозначим через $a_1 < \ldots < a_n$ и $b_1 < \ldots b_m$ абсциссы и ординаты всех вершин прямоугольников (без повторов) из обоих наборов. Тогда все прямоугольники можно подразбить на множества вида $(a_i, a_{i + 1}) \times (a_j, a_{j + 1})$, $\{a_i\} \times (a_j, a_{j + 1})$, $(a_i, a_{i + 1}) \times \{a_j\}$ и отдельные точки $\{a_i\} \times \{a_j\}$. Обычно в книжках по теории меры вместо обычных прямоугольников берут произведения полуинтервалов, тогда всё подразбивается на множества вида $[a_i, a_{i + 1}) \times [a_j, a_{j + 1})$.

Вот для произвольных многоугольников уже сложнее, там можно разбивать на треугольники или на выпуклые многоугольники.

[Padawan]

В книжке Дьяченко, Ульянов Мера и интеграл приведено доказательство для произвольного полукольца. Там есть лемма - любое конечное объединение элементов полукольца можно представить в виде объединения конечного дизъюнктного семейства элементов полукольца, причем каждый элемент исходного семейства также представляется в виде объединения элементов второго семейства.