Комбинация достоверной и случайной величин

[Evgeniy82]

В двух урнах находятся по одинаковому количеству зеленых (nz) и красных (nk) шаров, всего по n = nz + nk шаров.
Одновременно из обеих урн извлекаются по одному шару и откладывают вынутые шары отдельной парой без возврата их назад в урны.
Так продолжается до опустошения урн, т.е. вынутых пар достоверно станет n и в них достоверно будет 2nz и 2nk шаров, а сочетания цветов в парах случайна.
Сколько будет пар с одинаковым цветом - только оба зеленые и только оба красные?

-- 21.05.2024, 10:53 --

$nz \cdot nz/n^2$ зеленых и $nk \cdot nk/n^2$ красных, так я полагаю, но сомневаюсь, т.к. есть комбинация случайной величины и достоверной

[mihaild]

Индексы пишутся вот так: n_z ($n_z$).
Какая "комбинация", какая "достоверная величина"?
Что значит "сколько будет" - мат. ожидание, или всё распределение?

Evgeniy82 в сообщении #1639856 писал(а):

$nz \cdot nz/n^2$ зеленых

Как Вы это получили?
Если $n_z = n = 2$ (два шара, оба зеленые), то во Вашей формуле у нас будет одна пара зеленых шаров. Что не похоже на правду.

[Evgeniy82]

С достоверностью я, видимо, перебрал.

А формула $n_z^2/n^2$ зеленых - это произведение вероятностей двух независимых событий.

Понимаю, что эта формула справедлива для случая многократного извлечения шаров с их возвратом снова в урны перед каждым новым извлечением.
Тут у меня и проблема.
Надо вычислить вероятность количества изъятых пар с одинаковой окраской, т.е. без возврата шаров обратно в урны.

[mihaild]

Evgeniy82 в сообщении #1639888 писал(а):

Надо вычислить вероятность количества изъятых пар с одинаковой окраской

Вероятности вычисляются у событий, а не у случайных величин. У случайных величин вычисляются ожидания, распределения и т.д.

$\frac{n_z^2}{n^2}$ - это вероятность того, что пара с любым конкретным номером $k$ будет содержать два зеленых шара. Для вычисления мат. ожидания числа пар зеленых шаров этого достаточно, для распределения - нет (для разных пар события зависимы).

[Evgeniy82]

Мат. ожидание с возвратом шаров, как упомянуто, и без возврата одинаково?

[mihaild]

Да, это его интересное свойство.
Посчитайте вероятность получить зеленую пару в $i$-м испытании с возвратом.

[Evgeniy82]

Да!

Почитал и оказалось, что с моей, хоть и продвинутой, но школьной подготовкой, задача оказалась трудна.
Надо мне было говорить не о количестве одноцветных пар, а о наиболее вероятном количестве в распределении вероятностей при изъятии одновременном шаров из урн без их возврата обратно в урны.
Это получится, скорее всего, нормальное распределение с максимумом на некотором количестве одноцветных пар, например, зеленого цвета.

Такое мне не рассчитать в ближайшее время.

[mihaild]

Для вычисления распределения попробуйте использовать следующее свойство (и доказать его): распределение цветов пар не поменяется, если из первой урны мы вытащим сначала все зеленые, а потом все красные шары.

[мат-ламер]

Evgeniy82 в сообщении #1639995 писал(а):

Надо мне было говорить не о количестве одноцветных пар, а о наиболее вероятном количестве в распределении вероятностей при изъятии одновременном шаров из урн без их возврата обратно в урны.

Это уже будет совсем другая задача. То, что вы хотите, называется модой распределения. И она не обязана с его математическим ожиданием.

Evgeniy82 в сообщении #1639995 писал(а):

Это получится, скорее всего, нормальное распределение с максимумом на некотором количестве одноцветных пар, например, зеленого цвета.

Нормальным это распределение мы назвать не можем, поскольку оно дискретное.

Evgeniy82 в сообщении #1639995 писал(а):

Такое мне не рассчитать в ближайшее время.

Для нахождения распределения можно попробовать выписать какие-то рекуррентные соотношения.

-- Чт май 23, 2024 20:19:00 --

Evgeniy82 в сообщении #1639896 писал(а):

Мат. ожидание с возвратом шаров, как упомянуто, и без возврата одинаково?

mihaild в сообщении #1639941 писал(а):

Да, это его интересное свойство.

Хотя это интуитивно понятно, всё же оно нуждается в каком-то минимальном обосновании.

Мне вспомнилась следующая популярная задача. Студент к экзамену выучил половину билетов из 30-ти. Когда ему более выгоднее заходить - первым, или, например, пятым? (Предполагается, что тут выборка без возвращения и студенты билеты забирают с собой на подготовку). Интуиция подсказывает, что без разницы. Как это обосновать наиболее проще? Можно, конечно, рассмотреть все варианты для первых четырёх студентов. Но это будет очень долго. Но легко заметить, что задача обладает симметрией и все билеты равноправны между собой. Это и есть обоснование.

И в наших двух задачах с вытаскиванием шаров наблюдается симметрия относительно пар шаров. Поэтому вероятность вытащить пару шаров с одинаковым цветом в любой попытке одинакова для обеих задач. В выборке с возвращением имеем биномиальное распределение с понятно каким матожиданием. В выборке без возвращения распределение уже будет другим. Но мы можем просуммировать матожидания по каждому вытаскиванию и получить тот же ответ, что и в выборке с возвращением.