Уравнение с параметром и радикалом

[Jonik]

Добрый день. Сборник Шестакова по параметрам за 2020г.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $(x-3)(x+1)+3(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=(a-1)(a+2)$ имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.

Что делаю: ОДЗ x>3, x<-1 => $(x-3)(x+1)+3\sqrt{(x+1)(x-3)}=(a-1)(a+2)$ => $\sqrt{(x+1)(x-3)}=t, t\geqslant0$ => $t^2+3t-(a-1)(a+2)=0 (\ast)$. Получаем корни $t_1=a-1, t_2= -a-2$ . Возвращаемся к х для каждого t и в итоге получаем для $t_1: x=1\pm\sqrt{a^2-2a+5} (1), t_2: x=1\pm\sqrt{a^2+4a+8} (2)$. Это верные ответы, но я не могу разобраться на каком интервале какой корень "живет": в ответе при $a<-2:x=(1)_{-}, x=(2)_{+}$, при $a>1:x=(1)_{+}, x=(2)_{-}$, при $a\in[-2;1]:x=(1)_{-}, x=(2)_{-}$. Понимаю что это как-то связано с поведением параболы $(\ast)$: ветви вверх, вершина в -1.5 + t неотрицательна => нас интересует только правая ветвь. Но вот дальше как выйти на корни и интервалы не догоняю

[Null]

При $x<-1$ $3(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}<0$, а у вас $3\sqrt{(x+1)(x-3)}$ получилось, что обычно больше 0.

[Jonik]

Null в сообщении #1639439 писал(а):

При $x<-1$ $3(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}<0$, а у вас $3\sqrt{(x+1)(x-3)}$ получилось, что обычно больше 0.

сократил на $\sqrt{x-3}$

[Null]

Jonik в сообщении #1639440 писал(а):

сократил на $\sqrt{x-3}$

Так нельзя.

[Jonik]

почему?
Вы хотите сказать, что я не могу сократить, например $\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x}}$ при отрицательном x?

[Null]

Чему равен $\sqrt{x}$ при отрицательном x?

[Jonik]

Хорошо. Тогда как решать?

[Shadow]

Jonik в сообщении #1639525 писал(а):

Хорошо. Тогда как решать?

Просто рассмотреть отдельно случаи $x \le -1$ и $x>3$

[Jonik]

Shadow в сообщении #1639536 писал(а):

Jonik в сообщении #1639525 писал(а):

Хорошо. Тогда как решать?

Просто рассмотреть отдельно случаи $x \le -1$ и $x>3$

при x>3 понятно, а как быть при x<-1? сокращать нельзя, так что к квадратному уравнению не привести...

[Shadow]

Ну почему же. При $x \le -1$

$(x-3)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=-\sqrt{(x+1)(x-3)}$

Просто уберите ограничение $t \ge 0$, но учтите какие значения может принимать $x$ в зависимости от знака $t$

[Jonik]

Shadow в сообщении #1639595 писал(а):

Ну почему же. При $x \le -1$

$(x-3)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=-\sqrt{(x+1)(x-3)}$

Просто уберите ограничение $t \ge 0$, но учтите какие значения может принимать $x$ в зависимости от знака $t$

А почему убираем t>=0? Ведь при замене переменной мы обязаны писать ограничение на нее

[Shadow]

Ладно, оставьте, если вам так хочется. Просто рассмотрите два случая:

1. $x \le -1, t=-\sqrt{(x+1)(x-3)}, \; t \le 0$

2. $x>3, t=\sqrt{(x+1)(x-3)},\; t>0$

-- 19.05.2024, 07:56 --

Да, чтобы правильно все сделать, можете умножить числитель и знаменатель подкоренного выражения на $(x-3)$ и вынести $|x-3|$ из радикала.

Получится множитель $\dfrac{x-3}{|x-3|}$

[Jonik]

Shadow в сообщении #1639598 писал(а):

Ладно, оставьте, если вам так хочется. Просто рассмотрите два случая:

1. $x \le -1, t=-\sqrt{(x+1)(x-3)}, \; t \le 0$

2. $x>3, t=\sqrt{(x+1)(x-3)},\; t>0$

-- 19.05.2024, 07:56 --

Да, чтобы правильно все сделать, можете умножить числитель и знаменатель подкоренного выражения на $(x-3)$ и вынести $|x-3|$ из радикала.

Получится множитель $\dfrac{x-3}{|x-3|}$

Последнее замечание я считаю самое логичное и корректное, по нему и делал. Все получилось.
Спасибо за помощь

[мат-ламер]

Shadow в сообщении #1639598 писал(а):

Получится множитель $\dfrac{x-3}{|x-3|}$

Тут где-то недавно рассматривался вопрос про функцию $\operatorname{sign}$ , с помощью которой последнее выражение можно записать как $\operatorname{sign} (x-3)$ . Конкретно для этого примера может это и не актуально, но кое-когда эта функция может реально пригодиться.