Разрешимость уравнения 6 -го порядка в радикалах

[0101]

Приветствую, почтенные!
Задано уравнение 6-го порядка с символьными коэффициентами
$x^{6} -2(a_{00}+a_{10}+a_{20})x^{5} +(4(a_{00}a_{10}+a_{00}a_{20}+a_{10}a_{20}) -(a_{01}+a_{11}+a_{21}) +(a_{00}^{2}+a_{11}^{2}+a_{20}^{2}))x^{4} +(-8a_{00}a_{10}a_{20} +2(a_{01}a_{10}+a_{00}a_{11}+a_{01}a_{20}+a_{11}a_{20}+a_{00}a_{21}+a_{10}a_{11}) -2(a_{00}^{2}a_{10}+a_{00}a_{10}^{2}+a_{00}^{2}a_{20}+a_{10}^{2}a_{20}+a_{00}a_{20}^{2}+a_{10}a_{20}^{2}))x^{3} +(-4(a_{01}a_{10}a_{20}+a_{00}a_{11}a_{20}+a_{00}a_{10}a_{21}) +4a_{00}a_{10}a_{20}(a_{00}+a_{10}+a_{20}) -(a_{01}a_{10}^{2}+a_{00}^{2}a_{11}+a_{01}a_{20}^{2}+a_{11}a_{20}^{2}+a_{00}^{2}a_{21}+a_{10}^{2}a_{21}) +(a_{01}a_{11}+a_{01}a_{21}+a_{11}a_{21}) +(a_{00}^{2}a_{10}^{2}+a_{00}^{2}a_{20}^{2}+a_{10}^{2}a_{20}^{2}))x^{2} +(2(a_{01}a_{10}^{2}a_{20}+a_{00}^{2}a_{11}a_{20}+a_{01}a_{10}a_{20}^{2}+a_{00}a_{11}a_{20}^{2}+a_{00}^{2}a_{10}a_{21}+a_{00}a_{10}^{2}a_{21}) -2(a_{01}a_{10}a_{20}+a_{01}a_{10}a_{21}+a_{00}a_{11}a_{21}) -2a_{00}a_{10}a_{20}(a_{00}a_{10}+a_{00}a_{20}+a_{00}a_{20}))x +a_{01}a_{11}a_{20}^{2}+a_{01}a_{10}^{2}a_{21}+a_{00}^{2}a_{11}a_{21} -(a_{01}a_{10}^{2}a_{20}^{2}+a_{00}^{2}a_{11}a_{20}^{2}+a_{00}^{2}a_{10}^{2}a_{21})-a_{01}a_{11}a_{21} +a_{00}^{2}a_{10}^{2}a_{20}^{2}=0 $
Также его можно представить в виде
$(x - y_{0})(x - y_{1})(x - y_{2})(x - y_{3})(x - y_{4})(x - y_{5})=0$
со значениями корней
$y_{1}=a_{00}+\sqrt{a_{01}}$ $y_{2}=a_{00}-\sqrt{a_{01}}$
$y_{3}=a_{10}+\sqrt{a_{11}}$ $y_{4}=a_{10}-\sqrt{a_{11}}$
$y_{5}=a_{20}+\sqrt{a_{21}}$ $y_{0}=a_{20}-\sqrt{a_{21}}$
Как средствами компьютерной алгебры определить, что заданное уравнение разрешимо в радикалах, или, если исказить коеффиценты - неразрешимо? Есть ли теория Галуа в максимально популярном изложении?

[dgwuqtj]

Если вам надо на практике с такими штуками работать, то проще всего взять готовую CAS и разобраться в документации. Наверняка где-то в Sage есть нужные алгоритмы.

Я в компьютерной алгебре плохо разбираюсь, но если программировать самому, то по идее нужен целый набор алгоритмов. Зафиксируем основное поле, скажем, $F = \mathbb Q(a_{ij})$. Будем считать, что $\mathrm{char}\, F = 0$, иначе добавляются детали из-за несепарабельности. Во-первых, надо как-то конструктивно представлять элементы его алгебраического замыкания $F^{\mathrm{alg}}$ (например, как пару из аннулирующего многочлена и приближения из $\mathbb C((a_{00}))\ldots((a_{21}))$). Во-вторых, надо уметь решать задачи линейной алгебры в $F^{\mathrm{alg}}$ как векторном пространстве над $F$, тут вроде всё упирается в проверку линейной зависимости. В-третьих, надо уметь работать с конечными группами, для многочленов 6 степени - с подгруппами $\mathrm S_6$ (это можно и руками, конечно).

Проверка на разрешимость в радикалах может быть устроена так. Сначала ищем корни вашего многочлена $P$ в $F^{\mathrm{alg}}$. Потом находим минимальные многочлены корней с помощью проверки степеней корней на линейную зависимость, тем самым $P$ раскладывается на неприводимые многочлены. Дальше можно считать, что $P$ неприводим. Находим базис поля разложения $P$, состоящий из степеней каких-то корней $P$. Для каждой перестановки корней проверяем, продолжается ли она до автоморфизма поля разложения. Те, которые продолжаются, и образуют группу Галуа, которую остаётся проверить на разрешимость.

По литературе есть Постников, Теория Галуа. Но тут ведь кроме собственно теории Галуа ещё компьютерная алгебра и теория групп...

[0101]

Спасибо! Можете описать подробнее (с возможность компьютерной реализации) как
1 ищем корни вашего многочлена $P$ в $F^{\mathrm{alg}}$
2 находим минимальные многочлены корней с помощью проверки степеней корней на линейную зависимость?

[dgwuqtj]

Я там ошибся, если уж элементы алгебраического замыкания представлять рядами, то формальными рядами Пюизё из $\mathbb C\{\!\{a_{00}\}\!\}\ldots\{\!\{a_{21}\}\!\}$, а не формальными рядами Лорана. Я полностью не будут описывать алгоритмы для поиска корней, они в каком-то виде есть у Постникова и вообще длинные. Идея такая:
1. Избавляемся в многочлене (над любым полем) от кратных корней.
2. Учимся искать корни многочленов без кратных корней над комплексными числами (это поиск начального приближения, например, через оценку модуля корней и оценку на расстояние между корнями с последующим перебором, ну и потом метод Ньютона).
3. Если уже есть алгебраически замкнутое поле $F$, над которым умеем искать корни многочленов, то можно научиться искать корни многочленов в поле формальных рядов Пюизё $F\{\!\{t\}\!\}$. Это сводится к многократному решению уравнений над $F$ и применению леммы Гензеля для подъёма разложений многочленов с $F$ на $F[[t]]$.

А чтобы найти минимальный многочлен элемента $\alpha$, просто считаете степени $1, \alpha, \alpha^2, \ldots$, пока они не станут линейно зависимы, и эта линейная зависимость и будет минимальным многочленов.

[vpb]

dgwuqtj в сообщении #1639749 писал(а):

Я полностью не будут описывать алгоритмы для поиска корней, они в каком-то виде есть у Постникова и вообще длинные.

По-моему, тут у товарища попроще задача (данная ему, возможно, научным руководителем): дан многочлен степени $6$ , с рациональными коэффициентами, и надо выяснить, не являются ли его корни квадратичными иррациональностями, а если да, то найти их. Т.е., на самом деле надо выяснить, не разлагается ли многочлен на три квадратных. Задача, как разложить многочлен над ${\mathbb Q}$ на неприводимые --- несложная (вопрос в билете на экзамене в семестре), а компьютерная реализация своими руками --- как раз студенту на курсовую или максимум диплом.
См. Кострикин, Введение в алгебру, 3-й том, глава 4, параграф 2, пункт 3, или ван дер Варден, Алгебра, 5-я глава (предыдущее из Кострикина, например теория представлений групп, в основном не нужно (но кое-что из предыдущего полезно), так что читать там не так уж много. В указанном месте ван дер Вардена прямо алгоритм разложения написан.

-- 20.05.2024, 19:23 --

Посмотрел предыдущие сообщения ТС. Судя по всему, это уже далеко не студент, значит, это не задача (упражнение, правильнее сказать), поставленная научным руководителем для курсовой или диплома. Хотя и выглядит похоже. Ну, и в более старшем возрасте можно учиться.