Нахождение математического ожидания

[Dimitrii_SP]

Приветствую. Требуется помощь в решении следующей задачи:
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 случайным образом выбираются 2 точки. Какого математическое ожидание расстояния между этими точками? Каждая точка внутри треугольника может быть выбрана с одинаковой вероятностью.
До этого получалось решать аналогичные задачи с одной случайно выбранной в треугольнике точкой (к примеру мат ожидание расстояния до стороны или площади треугольника, образованного стороной и случайной точкой). А вот уже с двумя не ясно. Был произведен подсчет значения искомой величины численными методами. Ответ получился около 0,366. Хотелось бы добиться точного ответа, если он вообще находится.

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637878 писал(а):

До этого получалось решать аналогичные задачи с одной случайно выбранной в треугольнике точкой

Теперь попробуйте решить аналогичную задачу для двух точек на отрезке.

-- Пт май 03, 2024 16:46:54 --

Dimitrii_SP
А многомерные интегралы умеете (и не боитесь) считать?
(Как-бы намекаю ).

[Dimitrii_SP]

мат-ламер в сообщении #1637883 писал(а):

А многомерные интегралы умеете (и не боитесь) считать?

мат-ламер, с интегральным исчислением уже давно разговариваю на ты). Проблема в том, что мне плохо дается применение мат ожидания по определению. Прежде я старался ограничиваться использованием симметрии и тому подобного в обход интегралу. Хотелось бы разобраться теперь в этом ключе.

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637885 писал(а):

Проблема в том, что мне плохо дается применение мат ожидания по определению.

Dimitrii_SP в сообщении #1637885 писал(а):

Хотелось бы разобраться теперь в этом ключе.

Целиком поддерживаю ваши устремления. По правилам форума вы должны представить содержательные попытки решения задачи.

[Dimitrii_SP]

мат-ламер в сообщении #1637886 писал(а):

Целиком поддерживаю ваши устремления. По правилам форума вы должны представить содержательные попытки решения задачи.

мат-ламер, хорошо. Давайте начнем с малого. По Вашей рекомендации я для простоты понимания рассмотрел более простую задачу: мат ожидание расстояния между случайными точками на отрезке длиной 1. Чтобы было с чем сравнивать, в первую очередь написал переборный алгоритм для приблизительного подсчета нужного значения, вышло: 0.333367. После этого не сложно сообразить, что нужно получить 1/3. Затем я понял, что тот же самый перебор можно реализовать с помощью математических методов:
$A = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}|x - y|dxdy$
И на мое удивление значение такого интеграла как раз и равняется 1/3. Получается, что для любой подобной задачи нахождение ответа можно свести к подсчету вот такого интеграла:

$$\int\limits_{a_1}^{b_1}...\int\limits_{a_i}^{b_i}f(x_1,.. x_i)dx_1...dx_i$$

где
$x_i$ - параметры, определяющие случайные величины
$f(x_1,.. x_i)$ - функция, определяющая искомую величину по этим параметрам

Однако по-прежнему остается неясным, почему суммирование произведения $f(x_1,.. x_i)dx_1...dx_i$$ и является математическим ожиданием.

[mihaild]

Если область, из которой берутся точки, не прямоугольная, то нужно брать кратный интеграл по ней (и к повторному он сводится чуть сложнее). Ну и еще на меру области не забыть поделить.
Почему так - да по сути по определению. Как Вы определяете "равномерное внутри треугольника" распределение, и как Вы определяете мат. ожидание?

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637892 писал(а):

Однако по-прежнему остается неясным, почему суммирование произведения $f(x_1,.. x_i)dx_1...dx_i$$ и является математическим ожиданием.

Тут теоремка есть. Пусть первая случайная величина есть функция от второй случайной величины. Тогда матожидание первой случайной величины можно найти как интеграл от произведения этой функции на плотность второй случайной величины. Смотрите, например, Пугачёв В.С. "Теория вероятностей и математическая статистика", п.5.1.1.

-- Пт май 03, 2024 18:39:44 --

Поскольку плотность второй случайной величины есть равномерное распределение на декартовом произведении треугольников, то ответ в задаче можно получить (теоретически) как 4-х мерный интеграл от функции расстояния по декартовому произведению треугольников. Во что это выльется практически, сказать трудно.

[Alex Krylov]

Цитата:

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 случайным образом выбираются 2 точки

А каков алгоритм выбора случайных точек?

[Dimitrii_SP]

mihaild в сообщении #1637895 писал(а):

Как Вы определяете "равномерное внутри треугольника" распределение, и как Вы определяете мат. ожидание?

mihaild, наверное это не очень хорошо, но для себя я упрощаю это понятие до среднеарифметического значения всевозможных значений рассматриваемой величины). Хотя мы все прекрасно понимает, что в общем случае это не правда, т.к. плотность вероятности может быть непостоянной. В любом случае, если опираться на уже сделанные выводы, то ответом на мой первоначальный вопрос будет следующий интеграл:

$$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}(0.5 - |0.5 - x_2|)}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}(0.5 - |0.5 - x_1|)}\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}dy_1dx_1dy_2dx_2$$

где $y=\sqrt{3}(0.5 - |0.5 - x|)$ - ломаная, задающая 2 стороны р/ст треугольника (в области интегрирования)
(оставшаяся третья сторона совпадает с осью абсцисс и проходит через начало координат)
P.S. Этот интеграл посилен человеческому уму?)

[mihaild]

Еще на квадрат площади треугольника поделить надо.
Думаю что теоретически посчитать должно быть возможно, но не возьмусь.
(можно чуть упростить, сказав что первая точка в левой половине, но сильно легче не станет)

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637901 писал(а):

P.S. Этот интеграл посилен человеческому уму?)

Попробуйте воспользоваться нечеловеческим

[Dimitrii_SP]

мат-ламер в сообщении #1637903 писал(а):

Попробуйте воспользоваться нечеловеческим

мат-ламер, что-то даже вышло. Для начала я избавился от радикала, немного изменив задачу (теперь ищу мат ожидание квадрата искомого расстояния). После этого отправил этого монстра на съедение WolframAlpha, и он героически получит ответ 0.03125. А значит нужный результат √(0.03125) = √2/8.
По замечанию mihaild нужно еще поделить на квадрат площади треугольника.
Значит ответ: √2/8 : (1^2 * √3/4)^2 = 2√3/3 ≈ 0.943
Навряд искомое значение будет около единицы. Может следует поделить на площадь, а не на ее квадрат? Тогда получится √6/6 ≈ 0.408

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637910 писал(а):

А значит нужный результат √(0.03125) = √2/8.

Это почему?

-- Пт май 03, 2024 19:52:37 --

Dimitrii_SP в сообщении #1637910 писал(а):

После этого отправил этого монстра на съедение WolframAlpha, и он героически получит ответ 0.03125.

На всякий случай проверьте моделированием.

[Dimitrii_SP]

мат-ламер в сообщении #1637911 писал(а):

Это почему?

мат-ламер, ни что не мешает мне сначала избавиться от радикала в формуле расстояния между двумя точками, произвести интегральное исчисление, а уже затем в конце возвести в квадратный корень, получив искомое значение.

[mihaild]

Dimitrii_SP в сообщении #1637918 писал(а):

ни что не мешает мне сначала избавиться от радикала в формуле расстояния между двумя точками, произвести интегральное исчисление , а уже затем в конце возвести в квадратный корень

В смысле $\int \sqrt{f(x)}\, dx = \sqrt{\int f(x)\, dx}$?