Доказать, что процесс является мартингалом

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
Пусть $(W_t,t\geq 0)$ -- винеровский процесс, а $\tau$ -- момент остановки относительно его естественной фильтрации.
Докажите, что процесс $(X_t=W_{\min(\tau,t)}\geq 0)$ является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса $W_t$.
Подсказка: надо аппроксимировать $\tau$ марковскими моментами с конечным числом значений.
Решение: понятно, как нужно приближать момент остановки $\tau$ моментами остановки $\tau_n$ с конечным числом значений, которые сходятся к $\tau$ п.н.
Далее, доказываем, что при каждом фиксированном $n$ процесс $(X^n_t=W_{\min(\tau_n, t)},t\geq 0)$ является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса $W_t$, т.е. $E(X^n_t|\mathcal{F}_s)=X^n_s$ п.н.
Затем, т.к. у винеровского процесса траектории п.н. непрерывны, то п.н. $X^n_t=W_{\min(\tau_n,t)}\to W_{\min(\tau,t)}=X_t$ при $n\to \infty$ для каждого фиксированного $t$.
Следующий шаг должен быть таким: в равенстве $E(X^n_t|\mathcal{F}_s)=X^n_s$ п.н. перейти к пределу при $n\to \infty$: правя часть стремится к $X_s$ п.н. (это доказали на предыдущей строке), а левая часть -- к $E(X_t|\mathcal{F}_s) $.
Проблема заключается в том, что не получается доказать, что $E(X^n_t|\mathcal{F}_s)\to E(X_t|\mathcal{F}_s)$ п.н. при $n\to\infty$. Стандартный метод для перехода к пределу в УМО -- применить теорему лебега о мажорируемой сходимости (нужна мажоранта для $X^n_t$), но тут как-то неочевидно, кто будет интегрируемой мажорантой.
Может кто-нибудь знает, как в таких случаях доказывать возможность предельного перехода.
Кажется, что утверждение этой задачи будет верно для всякого мартингала с непрерывными траекториями.