Формула Грина

[Norma]

Для чего нужна односвязность в формуле Грина? Мне кажется, что этот факт не используется в теореме. Функции $P, Q$ непрерывно-дифференцируемые в замкнутой области, и этого вроде достаточно для доказательства теоремы.

[Red_Herring]

Norma в сообщении #1636992 писал(а):

Для чего нужна односвязность в формуле Грина?

Исключительно для того, чтобы не зам окрашиваться ориентацией на внутренних кусках границы.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1636995 писал(а):

Исключительно для того, чтобы не зам окрашиваться ориентацией на внутренних кусках границы.

Не согласен. Вопрос принципиальный. Без односвязности формула Грина может быть неверна в принципе. Рассмотрим, например, циркуляцию (работу) магнитного поля вокруг проводника с током. Там получается типа такая функция (на память точно не помню, позже проверю) $P(x,y)=-y/r^2$ , $Q(x,y)=x/r^2$ , где $r^2=x^2+y^2$ .

[пианист]

мат-ламер
Ну особенность обвести (маленьким) контуром, и применительно к составной границе все будет ок.
Или я не о том?

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1637005 писал(а):

Ну особенность обвести (маленьким) контуром, и применительно к составной границе все будет ок.
Или я не о том?

Для вашей области формула Грина будет верна. Для моего примера (ищу циркуляцию вокруг проводника) нет.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1637006 писал(а):

Для моего примера

Вы имеете в виду, включая $0$? Так в нуле даже функции под интегралом не определены, не говоря о производных. Так что тоже все ок, просто условия теоремы не выполнены.

[Alex Krylov]

Для многосвязной области:

$\iint\limits_{D}^{}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x} dA = \sum\limits_{i=1}^{n}\oint\limits_{C_i}^{}P dx + Q dy$

$C_1$ - вняшняя граница области $D$ (положительно ориентирована), а все остальные $C_i, i=2,...,n$ находятся внутри $C_1$ и отрицательно ориентированы

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1637009 писал(а):

просто условия теоремы не выполнены.

Про какую теорему вы говорите? Ссылочкой не поделитесь? И какую теорему имел в виду ТС?
Был вопрос:

Norma в сообщении #1636992 писал(а):

Для чего нужна односвязность в формуле Грина?

И у меня на него конкретный ответ:

мат-ламер в сообщении #1637003 писал(а):

Вопрос принципиальный. Без односвязности формула Грина может быть неверна в принципе.

Далее, ТС пишет:

Norma в сообщении #1636992 писал(а):

Функции $P, Q$ непрерывно-дифференцируемые в замкнутой области, и этого вроде достаточно для доказательства теоремы.

Это уже отдельная история. Этого вопроса я не касался. В формуле Грина непрерывная дифференцируемость в замкнутой области не предполагается. См., например, Камынин, т.2, пар. 6.1.4, стр.399.

-- Вс апр 21, 2024 16:24:29 --

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

В формуле Грина непрерывная дифференцируемость в замкнутой области не предполагается.

Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область", и как понимать дифференцируемость в ней, то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь.

-- Вс апр 21, 2024 16:34:26 --

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область"

В принципе это можно определить как замыкание открытой области. Но является ли такое определение общепринятым, не знаю. Обычно под областью понимают открытое множество.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область", и как понимать дифференцируемость в ней, то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь.

Ну а то, что внутри области бвашего "примера" функции неограниченны это ОК?

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

Про какую теорему вы говорите? Ссылочкой не поделитесь?

Например, Кудрявцев, 47.5. Но, вообще, это классический результат, он много где есть.

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь

Очень разумно, в особенности применительно к разделу.

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1637021 писал(а):

Но, вообще, это классический результат, он много где есть.

Одна из проблем с классическими результатами, что они есть в учебниках, но в разных вариантах, обычно не в самых общих случаях (для простоты). Поэтому возможны разночтения.

(Оффтоп)

В случае примера мат-ламер можно даже рассмотреть только внешнюю границу, но учесть, что $\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ понимается в смысле обобщенных функций , и равно не 0, а $\delta ((x,y))$ (с точностью до множителя). ТС рекомендуется это замечание игнорировать--по крайней мере ближайшие пару лет

[мат-ламер]

Norma
Я тут задавал вопрос

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):

И какую теорему имел в виду ТС?

Не поделитесь ли вы ссылкой на теорему, в которой в условии упомянута односвязность?