2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 13:29 


30/04/19
215
Для чего нужна односвязность в формуле Грина? Мне кажется, что этот факт не используется в теореме. Функции $P, Q$ непрерывно-дифференцируемые в замкнутой области, и этого вроде достаточно для доказательства теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
Norma в сообщении #1636992 писал(а):
Для чего нужна односвязность в формуле Грина?
Исключительно для того, чтобы не зам окрашиваться ориентацией на внутренних кусках границы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Red_Herring в сообщении #1636995 писал(а):
Исключительно для того, чтобы не зам окрашиваться ориентацией на внутренних кусках границы.

Не согласен. Вопрос принципиальный. Без односвязности формула Грина может быть неверна в принципе. Рассмотрим, например, циркуляцию (работу) магнитного поля вокруг проводника с током. Там получается типа такая функция (на память точно не помню, позже проверю) $P(x,y)=-y/r^2$ , $Q(x,y)=x/r^2$ , где $r^2=x^2+y^2$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
мат-ламер
Ну особенность обвести (маленьким) контуром, и применительно к составной границе все будет ок.
Или я не о том?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
пианист в сообщении #1637005 писал(а):
Ну особенность обвести (маленьким) контуром, и применительно к составной границе все будет ок.
Или я не о том?

Для вашей области формула Грина будет верна. Для моего примера (ищу циркуляцию вокруг проводника) нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
мат-ламер в сообщении #1637006 писал(а):
Для моего примера

Вы имеете в виду, включая $0$? Так в нуле даже функции под интегралом не определены, не говоря о производных. Так что тоже все ок, просто условия теоремы не выполнены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 15:55 


14/11/21
141
Для многосвязной области:

$\iint\limits_{D}^{}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x} dA = \sum\limits_{i=1}^{n}\oint\limits_{C_i}^{}P dx + Q dy$

$C_1$ - вняшняя граница области $D$ (положительно ориентирована), а все остальные $C_i, i=2,...,n$ находятся внутри $C_1$ и отрицательно ориентированы

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
пианист в сообщении #1637009 писал(а):
просто условия теоремы не выполнены.

Про какую теорему вы говорите? Ссылочкой не поделитесь? И какую теорему имел в виду ТС?
Был вопрос:
Norma в сообщении #1636992 писал(а):
Для чего нужна односвязность в формуле Грина?

И у меня на него конкретный ответ:
мат-ламер в сообщении #1637003 писал(а):
Вопрос принципиальный. Без односвязности формула Грина может быть неверна в принципе.

Далее, ТС пишет:
Norma в сообщении #1636992 писал(а):
Функции $P, Q$ непрерывно-дифференцируемые в замкнутой области, и этого вроде достаточно для доказательства теоремы.

Это уже отдельная история. Этого вопроса я не касался. В формуле Грина непрерывная дифференцируемость в замкнутой области не предполагается. См., например, Камынин, т.2, пар. 6.1.4, стр.399.

-- Вс апр 21, 2024 16:24:29 --

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
В формуле Грина непрерывная дифференцируемость в замкнутой области не предполагается.

Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область", и как понимать дифференцируемость в ней, то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь.

-- Вс апр 21, 2024 16:34:26 --

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область"

В принципе это можно определить как замыкание открытой области. Но является ли такое определение общепринятым, не знаю. Обычно под областью понимают открытое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
Поскольку я вообще не представляю, что такое "замкнутая область", и как понимать дифференцируемость в ней, то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь.
:facepalm:

Ну а то, что внутри области бвашего "примера" функции неограниченны это ОК?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
Про какую теорему вы говорите? Ссылочкой не поделитесь?

Например, Кудрявцев, 47.5. Но, вообще, это классический результат, он много где есть.

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
то от дальнейшей дискуссии пока воздержусь

Очень разумно, в особенности применительно к разделу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
пианист в сообщении #1637021 писал(а):
Но, вообще, это классический результат, он много где есть.
Одна из проблем с классическими результатами, что они есть в учебниках, но в разных вариантах, обычно не в самых общих случаях (для простоты). Поэтому возможны разночтения.

(Оффтоп)

В случае примера мат-ламер можно даже рассмотреть только внешнюю границу, но учесть, что $\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ понимается в смысле обобщенных функций , и равно не 0, а $\delta ((x,y))$ (с точностью до множителя). ТС рекомендуется это замечание игнорировать--по крайней мере ближайшие пару лет

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Грина
Сообщение21.04.2024, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Norma
Я тут задавал вопрос
мат-ламер в сообщении #1637012 писал(а):
И какую теорему имел в виду ТС?

Не поделитесь ли вы ссылкой на теорему, в которой в условии упомянута односвязность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group