Синтетическая геометрия как область проф интересов

[Mirage_Pick]

...малопривлекательна. Более того, в синтетической геометрии нет места подлинному исследованию, подобному тому, которое происходит сейчас в области анализа, алгебры, комбинаторики или дифференциальных уравнений...

Речь идет о той классической части геометрии, которая ныне широко представлена на школьных олимпиадах. Например, в России даже есть олимпиада имени И.Ф. Шарыгина, которая полностью посвящена именно такой геометрии. Довольно полное представление о такой геометрии также дает книжка Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads

Но то всё олимпиады, они рассчитаны на ограниченное время, а потому задачи в них естественно ограничены по сложности и весьма редко достигают той степени глубины, которая присуща вопросам, разбираемым на страницах среднего современного математического журнала.

Вместе с тем, был такой журнал - Forum Geometricorum, который позиционировался как журнал для статей исследовательского характера именно по такого рода геометрии. Но статьи в нем редко превышали по объему дюжину страниц, а если и превышали иногда, то представляли собой разбор нескольких разрозненных задач, хотя и имеющих единый сюжет, но очень напоминающих задачи олимпиадного характера, и решение которых исчерпывается парой-тройкой лемм, описывающих конфигурации, хорошо известные тем, кто занимался олимпиадной геометрией. Сравнить это со статьями в Annals of Mathematics или любого топ5 журнала по какой-либо области математики - земля и небо по содержанию. Видимо, поэтому журнал этот пребывает в неопределенном состоянии с 2019 года...

Наиболее "близкие" к сабжу задачи, которыми занимались профессиональные математики, в некоторых каталогах даже идущие с тегами "euclidean geometry", "plane geometry" - это, к примеру, плотные упаковки шаров, задачи Эрдёша комбинаторного характера про точки на плоскости, отстоящие друг от друга на целом расстоянии или, скажем, Sofa problem не имеют отношения к предмету этого поста, поскольку не относятся к той геометрии, которую я имел в виду выше. Многие вопросы такого рода - это скорее комбинаторика в обличии геометрии, а некоторые носят аналитический или вычислительный характер. Это я признаю как полноценную область исследований, поскольку по таким темам пишутся и большие статьи, и монографии и такое прочее, что бывает присуще области профессиональных интересов математиков.

Этим постом предлагаю оспорить тезис из первого предложения, если у вас есть примеры исследовательских вопросов по упомянутой геометрии. Вполне может быть так, что я что-либо пропустил. Впрочем, сильно в этом сомневаюсь... Либо же добавить конструктивные соображения по поводу того, что такая геометрия все-таки не есть предмет профессиональной деятельности математиков. Много всего написано про то, что геометрия представляет интерес только как вспомогательный, скажем, раздел в (российском) школьном курсе, который учит детей писать доказательства теорем; а в некоторых странах так вообще отсутствует и в школьном курсе...

[пианист]

Что-то никто из математиков не откликнулся..
Рискну предположить, что, во-первых, область изучается в течении ну очень длительного времени. Фигурально выражаясь, все самородки повыбрали, и теперь нужно потратить много усилий, чтобы найти что-то мало-мальски ценное. Во-вторых, отсутствует комьюнити, что, впрочем, является следствием "во-первых", а также того, что, в-третьих, у этой науки нет ничего на выходе.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Mirage_Pick в сообщении #1599329 писал(а):

Синтетическая геометрия как область проф интересов

Mirage_Pick в сообщении #1599329 писал(а):

...малопривлекательна.

Ну, почему? Областью профессиональных интересов может быть подготовка школьников к ЕГЭ или к олимпиадам. По-моему, вполне достойное занятие.

[alisa-lebovski]

Помню, одна женщина-преподаватель при мне жаловалась, что подготовила диссертацию по геометрии, а тут как раз ее исключили из ВАКовских специальностей. Так что такое отношение относительно недавнее.

[svv]

alisa-lebovski
Ужас. Надеюсь, ей удалось как-то переоформить работу и всё-таки защититься.

[Mirage_Pick]

alisa-lebovski в сообщении #1599470 писал(а):

Так что такое отношение относительно недавнее.

Это отношение - не блажь академиков РАН, а следствие более глубоких причин. Беда в том, что наука эта не производит качественно новых теорем, а с ними и качественно новых доказательств. Вот тут собраны новейшие достижения в этой области. Как видите, все результаты о том, что точка или несколько точек лежат на конике или несколько прямых (хорошо, чтобы их было 3, а лучше - больше 3) пересекаются в одной точке. Хоть эти коники и прямые и могут быть хитрыми, но хитрость эта верхнюю границу, по сути, не сложнее олимпиадной геометрии, которую отдельные одаренные личности осваивают за пару-тройку лет в свои школьные годы...

Я, честно говоря, не знаю, какой тут прогресс в принципе возможен. Это же предел совершенства. Область достигла совершенства и на этом застряла. Разве что уподобиться зоологам и ботаникам XVIII века и начать систематизировать подобные факты. Энциклопедия центров треугольника Кларка Кимберлинга уже насчитывает 54 тыс. центров треугольника. Сейчас такие придумывают в промышленных масштабах: 2 тыс. добавились только за последние полгода...

[alisa-lebovski]

svv в сообщении #1599485 писал(а):

Ужас. Надеюсь, ей удалось как-то переоформить работу и всё-таки защититься.

Нет, так и осталась.

[alisa-lebovski]

Mirage_Pick в сообщении #1599496 писал(а):

Беда в том, что наука эта не производит качественно новых теорем, а с ними и качественно новых доказательств.

Это проблема научной области или ограниченности человеческого мышления, вот вопрос. Просто люди кружат по местам, где привыкли кружить, а где-то в стороне, может быть, лежат интересные задачи. Это неизвестно.

[Mirage_Pick]

В этом году состряпали языковую модель, которая придумывает сложные доказательства неочевидных фактов синтетической геометрии и записывает их в удобочитаемом для кожаных мешков виде: ссылочка на статью с описанием программы AlphaGeometry.

Абстракт писал(а):

Мы предлагаем AlphaGeometry - программу для доказательства теорем в геометрии евклидовой плоскости, которая позволяет обойтись без человеческих демонстраций, синтезируя миллионы теорем и доказательств разного уровня сложности. AlphaGeometry - это нейросимволическая система, которая использует нейронную языковую модель, обученную с нуля на наших масштабных синтетических данных, чтобы направлять механизм символьного вывода через бесконечные точки ветвления в сложных задачах. На тестовом наборе из 30 последних задач олимпиадного уровня AlphaGeometry решает 25 задач, превосходя предыдущий лучший метод, решающий только десять задач, и приближаясь к показателям среднего золотого медалиста Международной математической олимпиады (IMO). Примечательно, что AlphaGeometry создает человекочитаемые доказательства, решает все геометрические задачи IMO 2000 и 2015 годов при экспертной оценке человека и обнаруживает обобщенную версию теоремы из задачи IMO 2004 года.

Досадно, что модель пока не умеет в кривые второго порядка и выше, но, думается, ребята из гугла разовьют модель, и скоро можно будет тыкать в кнопочки и поиграццо з параболами, эллипсами, гиперболами, вписанными в треугольнички - там все не менее интересно, чем в "обычной" геометрии из IMO. А может, даже и с кубическими кривыми, не копаясь в пудовых томах энциклопедиях Кимберлингов! В общем, ждём-с.

-- 23.03.2024, 13:28 --

Там дальше по цитированиям ребята замахиваются на общее математическое мышление!
DeepSeekMath: Раздвигая границы математических рассуждений в открытых языковых моделях

Цитата:

Математические рассуждения представляют собой серьезную проблему для языковых моделей из-за их сложной и структурированной природы. В этой статье мы представляем DeepSeekMath 7B, который продолжает предварительное обучение DeepSeek-Coder-Base-v1.5 7B с 120 ББ лексем, связанных с математикой, взятых из Common Crawl, а также данных естественного языка и кода. DeepSeekMath 7B достиг Впечатляющий результат в 51,7 % на соревновательном уровне в бенчмарке MATH, не прибегая к помощи внешних наборов инструментов и методов голосования, приблизившись к уровню производительности Gemini-Ultra и GPT-4. Самосогласованность по 64 примерам из DeepSeekMath 7B достигает 60,9% в MATH. Способность DeepSeekMath к математическому мышлению объясняется двумя ключевыми факторами: Во-первых, мы используем значительный потенциал общедоступных веб-данных с помощью тщательно тщательно разработанный конвейер отбора данных. Во-вторых, мы внедряем групповую оптимизацию относительной политики (GRPO), вариант оптимизации проксимальной политики (PPO), которая улучшает математические способности способностей и одновременно оптимизирует использование памяти PPO.

Масштаб, однако.

[Djong]

alisa-lebovski в сообщении #1599470 писал(а):

Помню, одна женщина-преподаватель при мне жаловалась, что подготовила диссертацию по геометрии, а тут как раз ее исключили из ВАКовских специальностей. Так что такое отношение относительно недавнее.

Что-то не пойму. Специальности 1.1.3 «Геометрия и топология» больше нет? Или в диссертации теперь нельзя действовать синтетическим методом (ни одного чертежа)? В конце концов, раз это только подготовка к олимпиадам, можно переделать под педагогические науки.

[alisa-lebovski]

Djong в сообщении #1636732 писал(а):

Что-то не пойму.

А были бы математиком, разбирались бы в теме, поняли бы.

[Djong]

alisa-lebovski в сообщении #1636737 писал(а):

Djong в сообщении #1636732 писал(а):

Что-то не пойму.

А были бы математиком, разбирались бы в теме, поняли бы.

Что Вы бросаетесь то сразу? Нельзя объяснить в чём суть? Тем более я не видел этот диссер. Мне интересно что она там доказала.

[Mikhail_K]

alisa-lebovski в сообщении #1599470 писал(а):

Помню, одна женщина-преподаватель при мне жаловалась, что подготовила диссертацию по геометрии, а тут как раз ее исключили из ВАКовских специальностей.

Djong в сообщении #1636732 писал(а):

Что-то не пойму. Специальности 1.1.3 «Геометрия и топология» больше нет? Или в диссертации теперь нельзя действовать синтетическим методом (ни одного чертежа)? В конце концов, раз это только подготовка к олимпиадам, можно переделать под педагогические науки.

alisa-lebovski в сообщении #1636737 писал(а):

А были бы математиком, разбирались бы в теме, поняли бы.

Я математик и мне ситуация, при которой качественная математическая работа не может быть притянута за уши ни к какой ВАКовской специальности, кажется очень странной.

Вероятно, имеется в виду, что в новом паспорте специальности 1.1.3 "Геометрия и топология" ни один из пунктов в списке "Направления исследований" не соответствует классической ("синтетической") геометрии.
https://nppir.com/pasporta_vak/1.1.3._g ... logiya.pdf
Я бы предположил, что тематику диссертации вполне реально привязать к первому пункту "Выпуклая, дискретная и комбинаторная геометрия".
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_geometry

Есть ли что-то в каком-то списке - это формальность, а математики - народ, обычно пренебрежительно относящийся к разного рода формальностям. Даже если и имеется опасность "зарубания" диссертации на уровне диссертационного совета, или ВАКом уже после защиты, по причине неполного соответствия паспорту специальности, я бы не считал эту опасность слишком высокой.

[alisa-lebovski]

Mikhail_K, это была немолодая женщина, и ситуация эта с ней была много лет назад. К нынешним изменениям в специальности это никакого отношения не имеет.

[Djong]

Mirage_Pick в сообщении #1633831 писал(а):

В этом году состряпали языковую модель, которая придумывает сложные доказательства неочевидных фактов синтетической геометрии и записывает их в удобочитаемом для кожаных мешков виде: ссылочка на статью с описанием программы AlphaGeometry.

В этой проге логический вывод играет куда большую роль, чем LLM. Почитайте статью.

-- 18.04.2024, 15:10 --

Mirage_Pick в сообщении #1633831 писал(а):

но, думается, ребята из гугла разовьют модель, и

И снова ребята из гугла™. Mirage_Pick и MoonWatcher одно лицо?
Флаг Вам в руки, ребят не дождётесь, тем более прога open source.

-- 18.04.2024, 15:12 --

Mirage_Pick в сообщении #1633831 писал(а):

Там дальше по цитированиям ребята замахиваются на общее математическое мышление!
[url=https://arxiv.org/pdf/2402.03300.pdf]DeepSeekMath: Раздвигая границы математических

Ребята уже не из гугла?

-- 18.04.2024, 15:14 --

Все тексты про ребят генерит бот. Я стою на своём.