Помогите исправить ошибки в решении задач по алгему.

[Marasorty]

Задача 2. Систему многочленов $t^5 + t^4, t^5 - 3t^3, t^5 + 2t^2, t^5 - t$ дополнить до базиса
пространства $P_5 (t)$

Решение: Сначала записал все коэффы многочленов в матрицу, немного попреобразовывал и по итогу добавил $t^3$, что в конечном итоге после преобразований дало матрицу состоящую из лин. независимых столбиков (1,0,..0) (0, 1, ... 0) и тд. Т.е. как базис подходит. В ответе написал $t^3$, но препод красной ручкой подписал в конце запятую, видимо мол что-то еще надо добавить, а что не понимаю.

Задача 3. Дана матрица

$$\begin{pmatrix} -1& 0& 0& \\ 2& -1& &0 \\ 5& 4& 6& \end{pmatrix}$$

перехода от базиса $e_1, e_2, e_3$ к базису $e_1', e_2', e_3'$. Найти координаты $e_2'$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ и координаты $e_1$ в базисе $e_1', e_2', e_3'$.

Решение: если матрицу перехода записать как систему, то получится, что $e_2' = 2e_1 - 1e_2 + 0e_3$. Т.е. $e_2'$ найден.
Далее, нужно найти координату первого базисного вектора, т.е. $x_e = e_1$ в базисе $e'$, т.е. ищем $x_{e'}$:
$x_{e'} = P_{e \to e'}^{-1} \cdot x_e$
Определитель матрицы перехода равен 6. Обратная матрица перехода равна

$$1/6 \cdot \begin{pmatrix} -6& 0& 0& \\ -12& -6& &0 \\ 13& 4& 1& \end{pmatrix}$$

И тогда все подставим и получим, что $x_{e'} = 1/6 \cdot (-6, -12, 13)$. Препод подчеркнул вектор $e_2'$. Тут вообще хз.

[mihaild]

Marasorty в сообщении #1636692 писал(а):

Сначала записал все коэффы многочленов в матрицу

А покажите. И сразу подсказка: какова размерность $P_5$?

Marasorty в сообщении #1636692 писал(а):

если матрицу перехода записать как систему

А как у вас определялась матрица перехода? Есть два определения, как писать старый базис - слева в строчку или справа в столбец.

[Marasorty]

Кажется понял, в $P_5 (t)$ ведь $t^5, t^4, t^3, t^2, t, 1$ базис, т.е. размерность 6, да?
Ну а записал я вот так матрицу:

$$\begin{pmatrix} 1& 1& 0& 0& 0& \\ 1& 0& -3& 0& 0& \\ 1& 0& 0& 2& 0& \\ 1& 0& 0& 0& -1& \end{pmatrix}$$

И снизу добавил $t^3$. Потом попреобразовывал и т.д. Но раз с новым так называем базисом определились, нужно видимо еще один столбец нулевой добавить и добавить строку $t^0$.

-- 18.04.2024, 09:57 --

А матрица перехода видимо через строки:
$e = (e_1, e_2, ...)$
$e' = (e_1', e_2', ...)$

$e_1' = a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + ...$

$e_2' = a_{12} e_1 + a_{22} e_2 + ...$

$...$

$$P_{e \to e'} = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{21}& ...& \\ a_{12}& a_{22}& ..& \\ ...& ...& \end{pmatrix}$$

[Marasorty]

mihaild
есть какие-нибудь предположения по 3 заданию?

[mihaild]

Marasorty в сообщении #1636728 писал(а):

А матрица перехода видимо через строки

При этом то, что Вы написали, соответствует как раз через столбцы (когда базисные векторы пишутся в столбец и справа от матрицы). В таком определении Ваше изначальное решение правильное (с точностью до обращения матрицы, не проверял). Но раз преподавателю не понравился $e_2'$, то, видимо, должно быть наоборот - базисные вектора пишутся в строчку и слева от матрицы.