Задача из будущего ЕГЭ. Насколько корректно такое давать?

[мат-ламер]

Ролик не смотрел. Но думаю, что тут что-то напутано с условием. Допустим нам надо найти не все корни, а только корни из интервала $(0,\pi /2)$ . Тогда мы можем воспользоваться тем фактом, что функция в левой части уравнения выпуклая с вполне угадываемым минимумом, который и даёт нам единственный ответ. Задача становится вполне решаемой.

[EUgeneUS]

ShMaxG в сообщении #1635442 писал(а):

В комментариях к тому видео есть вполне себе разумное решение с заменой $u=\sin{x}$, $v=\cos{x}$. Исходное уравнение сводится к уравнению четвертой степени, корень которого легко подбирается. Потом получается уравнение 3 степени, и там один корень легко подбирается. На мой взгляд, вполне нормальное решение, никаких "заметим, что", каждый шаг -- это привычное для ЕГЭ действие. Что Вы скажете об этом решении?

Во1х. При такой замене корень будет не целый, а $1/2$. Уже как-то тяжело угадывать.
Хотя в комментариях есть решение с заменой $u=1 / \sin{x}$, $v=1/ \cos{x}$
Тогда корень будет целый и он подбирается.

Во2х. Удачный целый (или полуцелый) корень получается, если выражать синус, а если выразить косинус, никакого целого корня не будет.

[wrest]

gevaraweb в сообщении #1635478 писал(а):

Я не смог его решить (в лоб). Вольфрам дает решение

Надо получившийся многочлен 3 степени ещё раз поделить на $(x-2+\sqrt{3})$ т.к. этот корень кратный. Теорерически то можно конечно привлечь духи Виета или Кардано, но можно и меньшей кровью.
Тогда останется квадратное уравнение
$x^2-(12+8\sqrt{3})x-7-4\sqrt{3}=0$ которое и даст оставшиеся два корня.
Ну тут трудностей две
1. Таки вычислить $tg\frac{\pi}{12}$
2. Понять что (угаданный) корень кратный и делить многочлен 4-й степени на квадрат этого корня.
Первое требует техники, второе - размышлений и техники (умения делить многочлены например столбиком).
Арктангенс - элементарная функция, его вычислять кмк не надо.

P.S. Насчёт кратности корня. Выше неясно я написал. Если я ничего не напутал, то можно пойти путём универсальной тригонометрической замены $t=\tg \frac{x}{2}$ и тогда получаем уравнение 4 степени. Но один корень мы угадали сразу, это $t=\tg(\pi/12)=2-\sqrt{3}$ и вот он-то как раз кратный, что сводит уравнение 4-й степени к квадратному.

[wrest]

wrest в сообщении #1635499 писал(а):

Если я ничего не напутал, то можно пойти путём универсальной тригонометрической замены $t=\tg \frac{x}{2}$ и тогда получаем уравнение 4 степени.

Запишу его тут (выкладки элементарные - восьмерку переносим влево оставля ноль справа, всё приводим к одному знаменателю, знаменатель выкидываем считая его не равным нулю)
$t^4-(16+6\sqrt{3})t^3+(16-6\sqrt{3})t-1=0$ где $t \ne 0,\pm 1$
Вот этот многочлен(слева от знака равенства) мы и делим столбиком на известный нам кратный корень $(t-(2-\sqrt{3}))^2=t^2+(2\sqrt{3}-4)t+( 7 - 4 \sqrt{3})$ после чего остается уравнение
$t^2-(12+8\sqrt{3})t-(7+4\sqrt{3})=0$ которое решаем "штатно"

Осталось понять как понять что корень $t=\tg (\pi/12)=2-\sqrt{3}$ кратный без угадывания этого факта.