Движение тела с переменной массой

[Andrianiy]

Всем привет. Есть вот такая задача:

Буксир тянет баржу массой $m_0$=50 тонн с постоянной скоростью $v$=5 км/час; при этом натяжение каната, связывающего буксир с баржей вдвое меньше того, при котором канат обрывается. При $t=0$ в барже открывается течь и начинает поступать в трюм вода со скоростью $\mu$=100 кг/с. Через какое время $\tau$ оборвется канат, если буксир продолжает тянуть баржу с постоянной скоростью? Считать, что сила сопротивления воды растет пропорционально весу баржи из-за увеличения ее лобового сопротивления, коэффициент пропорциональности $\alpha$=0,001.

Уверен, она не сложная, но когда начинаю расписывать - не получается.
Здесь две силы - сила сопротивления $F(m)=\alpha m$ и сила натяжения троса $T(t)$. Так как скорость постоянна, то эти силы равны между собой. Когда течи не было, получаем: $\alpha m_0=\frac{T_{max}}{2}$.
Из этого условия получаем максимальную силу натяжения троса: $T_{max}=2\alpha m_0$
Далее в барже открывается течь и масса баржи меняется по закону $m(t)=m_0+\mu t$
Из уравнения Мещерского, действие силы F определяет изменение импульса тела с переменной массой: $\frac{d}{dt}(mv)=F(t)$
Скорость постоянна, поэтому $dm v=F(t)dt$
Сила сопротивления $F(t)=\alpha (m_0+\mu t)$
Получаем: $dm v = \alpha (m_0+\mu t)dt$

Дальше у меня затык, какие пределы интегрирования тут брать и правильно ли вообще я записал уравнение движения.
Буду признателен за любую подсказку.

[sergey zhukov]

Andrianiy
Да тут дифференциальных уравнений не нужно. Требуется просто подсчитать, когда сила сопротивления баржи при той же ее скорости удвоится. А потоком импульса от втекающей в нее воды можно пренебречь. Он не сильно увеличивает натяжение. Но можно его и прибавить, т.е. учесть силу, необходимую для ускорения потока воды $Q=100$ кг/сек от нуля до скорости баржи $u$. Эта добавка будет $F=Qu$, если баржу тянут по неподвижной воде. Т.е. как только вода стала в нее поступать, сила на канате мгновенно возрастает на эту величину, а затем линейно растет, пока не удвоится от исходного значения.

А откуда у вас двойка появилась? Она там не нужна.

[Andrianiy]

Сергей, спасибо за ответ!
По поводу двойки - в условии сказано, что когда течи нет, то натяжение каната вдвое меньше максимального, отсюда $T_{max}/2$
Я кстати, пробовал и без дифференциальных уравнений.
Начальное условие (течи нет): $T_{max}/2=\alpha m_0$ или $T_{max}=2\alpha m_0$
Конечное условие (обрыв каната) в момент времени $\tau$: $T_{max}=\alpha (m_0+\mu \tau)$
Отсюда получаем $2\alpha m_0=\alpha (m_0+\mu \tau)$ или $\tau=m_0/\mu$
Но получилось, что время не зависит от коэффициента пропорциональности и скорости, что-то не верится...

[DimaM]

Andrianiy в сообщении #1634897 писал(а):

Но получилось, что время не зависит от коэффициента пропорциональности и скорости, что-то не верится...

Думаю, силу, потребную для ускорения поступающей воды нужно все же прибавить.
$F_w=d(m_wv)/dt$.

[sergey zhukov]

Andrianiy
А, это же не начальная сила натяжения каната, а разрывная. Тогда конечно двойка нужна.

Да, так похоже на переупрощение. Т.е. текущая сила натяжения каната должна быть $T=(\alpha m_0+\mu t)+\mu v$

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1634904 писал(а):

Т.е. текущая сила натяжения каната должна быть $T=(\alpha m_0+\mu t)+\mu v$

Тут очевидная ошибка с размерностью, и первая скобка не там стоит.

Andrianiy в сообщении #1634897 писал(а):

Конечное условие (обрыв каната) в момент времени $\tau$: $T_{max}=\alpha (m_0+\mu \tau)$

И тут ошибка с размерностью, ибо масса не может быть равна силе ($\alpha$ - безразмерный коэффициент по условию).

[stalvoron]

При практическом применении такого расчета, следовало бы рассмотреть разложение сил при затапливании баржи. Осадка баржи увеличится, и трос перестанет располагаться параллельно вектору движения. Но если это книжная задача, то наверное этим пренебрегают.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Ну да. Должно быть $T=\alpha g(m_0+\mu t)+\mu v$

[Andrianiy]

sergey zhukov в сообщении #1634913 писал(а):

EUgeneUS
Ну да. Должно быть $T=\alpha g(m_0+\mu t)+\mu v$

Вот! Всем спасибо за подсказки!
Ответ получился 362 секунды, похоже на правду. Кстати, если бы мы не учитывали силу, необходимую для ускорения поступающей воды, то ответ был бы 500 секунд, то есть ровно столько, чтобы наполнить баржу таким же весом, как она и была (50 т), так как до течи натяжение было вдвое меньше допустимого. Но именно из-за этого дополнительного слагаемого трос оборвется раньше.
Ещё раз всем спасибо!