ХРИН 04 Абсолютно антисимметричный псевдо-хитензор

[Утундрий]

В этом параграфе мы научимся менять два индекса на один, но не всегда и не бесплатно.

§4 Абсолютно антисимметричный псевдо-хитензор

Рассмотрим символы $\varepsilon_{ikm}$ и $\varepsilon^{ikm}$, меняющие знак при перестановке любых двух индексов и нормированные условием $\varepsilon_{123}=\varepsilon^{123}=1$. Их произведение даётся формулой

$$\varepsilon^{ikm}\varepsilon_{prs}=\left| {\begin{array}{ccc} \delta_p^i & \delta_r^i & \delta_s^i \\ \delta_p^k & \delta_r^k & \delta_s^k \\ \delta_p^m & \delta_r^m & \delta_s^m \\ \end{array} } \right| \eqno (4,1) $$

из которой свёртками получается ряд следствий

$$\varepsilon^{iks}\varepsilon_{prs}=\left| {\begin{array}{cc} \delta_p^i & \delta_r^i \\ \delta_p^k & \delta_r^k \\ \end{array} } \right| , \quad \varepsilon^{irs}\varepsilon_{prs}=2\; \delta_p^i , \quad \varepsilon^{prs}\varepsilon_{prs}=6\eqno (4,2)$$

Также нам понадобятся легко проверяемые соотношения

$$\varepsilon^{ikl}\;x^{\tilde p}_{,i}\;x^{\tilde r}_{,k}\;x^{\tilde s}_{,l}=\overline{J}\;\varepsilon^{\tilde p\tilde r\tilde s} \eqno (4,3)$$ $$\varepsilon^{ikl}\;\overline{g}_{ip}\;\overline{g}_{kr}\;\overline{g}_{ls}=\overline{g}\;\varepsilon_{prs} \eqno (4,4)$$

Из закона преобразования пространственной метрики $(2,11)$ и свойств определителя следует

$$\overline g=\overline{J}^2\cdot\widetilde{\overline g}\eqno (4,5)$$

что позволяет переписать $(4,3)$ в виде

$$\dfrac {1}{\sqrt{\overline g}}\;\varepsilon^{ikl}\;x^{\tilde p}_{,i}\;x^{\tilde r}_{,k}\;x^{\tilde s}_{,l}=\operatorname{sign}\overline{J}\cdot\dfrac {1}{\sqrt{\widetilde{\overline g}}}\;\varepsilon^{\tilde p\tilde r\tilde s}$$

или

$$\overset{*}{e} {}^{\tilde p\tilde r\tilde s}=\operatorname{sign}\overline{J}\cdot x^{\tilde p}_{,i}\;x^{\tilde r}_{,k}\;x^{\tilde s}_{,l}\;\overset{*}{e} {}^{ikl}\eqno (4,6)$$

где введён новый объект

$$ \overset{*}{e} {}^{ikl}\equiv\dfrac {1}{\sqrt{\overline g}}\;\varepsilon^{ikl}\eqno (4,7) $$

преобразующийся по закону, напоминающему хитензорный, но с ещё одним дополнительным множителем — знаком трёхмерного якобиана хронометрического преобразования. Величины подобного рода будем называть псевдо-хитензорами и помечать "снежинкой" над символом.

Опустив у $(4,7)$ всё индексы и применив $(4,4)$, обнаружим следующее:

$$ \overset{*}{e}_{ikl}=\sqrt{\overline g}\;\varepsilon_{ikl}\eqno (4,8) $$

Рассмотрим произвольный антисимметричный хитензор второго ранга $\overline{\omega}_{ik}=-\overline{\omega}_{ki}$ и сопоставим ему дуальный псевдо-хивектор

$$\overset{*}{\omega}{}^i\equiv\dfrac 1 2\; \overset{*}{e}{}^{ikl}\;\overline{\omega}_{kl}\eqno (4,9) $$

Обратное выражение имеет вид

$$\overline{\omega}_{ik}=\overset{*}{e}_{ikl}\;\overset{*}{\omega}{}^l\eqno (4,10) $$

Таким способом можно значительно сократить число индексов в уравнениях, при условии наличия среди них антисимметричных пар.

В качестве примера возьмём хитензор четвёртого ранга со следующими симметриями:

$$\overline P_{iklm}=\overline P_{lmik}=-\overline P_{lmki}\eqno (4,11) $$

Свёртками из него можно составить единственный хитензор второго ранга $\overline P_{ik}\equiv \overline P{}^s{}_{isk}$, который вдобавок оказывается симметричным $\overline P_{ik}=\overline P_{ki}$. Свернув последний, получим хинвариант $\overline P\equiv \overline P{}^s_s$.

Теперь представим рассматриваемый хитензор в виде

$$\overline P_{iklm}= \overset{*}{e}_{ikp}\;\overset{*}{e}_{lms}\;\overline Q{}^{ps}\eqno (4,12) $$

Обратное выражение

$$\overline Q{}^{ps}=\dfrac 1 4 \; \overset{*}{e}{}^{pik}\;\overset{*}{e}{}^{slm}\;\overline P_{iklm}$$

явно указывает на симметричность дуального хитензора: $\overline Q{}^{ik}=\overline Q{}^{ki}$.

Итак, из одного объекта у нас появились два симметричных хитензора одинакового ранга. Очевидно, они как-то связаны друг с другом.

Чтобы проследить эту связь, запишем $(4,12)$ в форме

$${\overline P{}^{ik}}_{lm}= \overset{*}{e}{}^{ikp}\;\overset{*}{e}_{lms}\;\overline Q{}^{s}_{p}\eqno (4,13) $$

свернём раз: $\overline P{}^{i}_{k}=\delta^i_k\;\overline Q{}^{s}_{s}-\overline Q{}^{i}_{k}$, свернём два: $\overline P=2\;\overline Q{}^{s}_{s}$ и обнаружим

$$\overline Q{}^{i}_{k}=\dfrac 1 2 \;\overline P\;\delta^i_k-\overline P{}^{i}_{k}\eqno (4,14) $$

Осталось подставить это выражение в $(4,13)$, раскрыть произведение двух псевдо-хитензоров посредством $(4,1)$ и получить в итоге

$${\overline P{}^{ik}}_{lm}= - \dfrac 1 2 \;\overline P\;\left| {\begin{array}{cc} \delta_l^i & \delta_m^i \\ \delta_l^k & \delta_m^k \\ \end{array} } \right|+ \left| {\begin{array}{cc} \overline P{}^{i}_{l} & \overline P{}^{i}_{m} \\ \delta_l^k & \delta_m^k \\ \end{array} } \right|- \left| {\begin{array}{cc} \overline P{}^{k}_{l} & \overline P{}^{k}_{m} \\ \delta_l^i & \delta_m^i \\ \end{array} } \right|\eqno (4,15) $$

Задача
Получите формулу

$$\overline{\omega}_{ik}\;\overline{\omega}_{lm}= \overline g_{il}\;\overline g_{km}\;\overset{*}{\omega}{}^s\;\overset{*}{\omega}{}_s-\overline g_{il}\;\overset{*}{\omega}{}_k\;\overset{*}{\omega}{}_m-\overline g_{km}\;\overset{*}{\omega}{}_i\;\overset{*}{\omega}{}_l -\langle lm \rangle$$

[Cos(x-pi/2)]

Опять-таки с извинениями за возможные оплошности

(вот попытка решения)

В предположении, что $\overline{\omega}_{ik}$ это антисимметричный хитензор, вывожу требуемую в задаче формулу двумя способами - длинным и коротким.


Длинный вывод:

Хитензор 4-го ранга $\overline{P}_{iklm}=\overline{\omega}_{ik}\,\overline{\omega}_{lm}$ имеет такие же свойства индексной симметрии, как и рассмотренный в §4 хитензор (4,11), - он симметричен к перестановке первой и второй пары индексов и антисимметричен к перестановкам индексов внутри самих этих пар. Поэтому можно к нему применить готовый результат (4,15). В правой стороне (4,15) видны три слагаемых, обозначу их для краткости как (I), (II), (III). Вычисление входящих в них свёрток даёт:

$$\overline{P}{}^i_l=\overline{\omega}^{si}\,\overline{\omega}_{sl} =\varepsilon^{sim}\,\varepsilon_{sln}\,\overset{*}{\omega}{}_m\,\overset{*}{\omega}{}^n=$$

$$=\left( \delta^i_l \delta^m_n - \delta^m_l \delta^i_n \right)\,\overset{*}{\omega}{}_m\,\overset{*}{\omega}{}^n = \delta^i_l \,\overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n - \overset{*}{\omega}{}^i\,\overset{*}{\omega}{}_l$$

$$\overline{P}=\overline{P}{}^i_i = 3\, \overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n - \overset{*}{\omega}{}^i\,\overset{*}{\omega}{}_i=2\, \overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n$$

Тогда:

$$\text{(I)}\,=\,-\left( \delta^i_l \delta^k_m - \delta^i_m \delta^k_l \right)\,\overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n$$

Это слагаемое (I) уничтожается аналогичным вкладом с противоположным знаком, имеющимся в (II):

$$\text{(II)}\,=\,\left( \delta^i_l \delta^k_m - \delta^i_m \delta^k_l \right)\,\overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n - \delta^k_m \,\overset{*}{\omega}{}^i\,\overset{*}{\omega}{}_l + \delta^k_l \,\overset{*}{\omega}{}^i\,\overset{*}{\omega}{}_m$$

Слагаемое (III) отличается от (II) знаком и заменой друг на друга индексов $i,k:$

$$\text{(III)}\,=\,-\left( \delta^k_l \delta^i_m - \delta^k_m \delta^i_l \right)\,\overset{*}{\omega}{}_n\,\overset{*}{\omega}{}^n + \delta^i_m \,\overset{*}{\omega}{}^k\,\overset{*}{\omega}{}_l - \delta^i_l \,\overset{*}{\omega}{}^k\,\overset{*}{\omega}{}_m$$

Сумма выражений (I), (II) и (III) согласно (4,15) есть ${\overline{P}{}^{ik}}_{lm}=\overline{\omega}{}^{ik}\,\overline{\omega}_{lm}.$ Опустив индексы, получаем результат, который можно записать в виде

$$\overline{\omega}_{pr}\,\overline{\omega}_{lm} = \overline{g}_{pi}\,\overline{g}_{rk}\,\overline{\omega}^{ik}\,\overline{\omega}_{lm}\,=$$

$$=\,\overline{g}_{pl}\,\overline{g}_{rm}\,\overset{*}{\omega}{}^n\,\overset{*}{\omega}{}_n-\overline{g}_{pl}\,\overset{*}{\omega}{}_r\,\overset{*}{\omega}{}_m -\overline{g}_{rm}\,\overset{*}{\omega}{}_p\,\overset{*}{\omega}{}_l-\langle lm \rangle$$

Такое равенство и требовалось получить. Для полного совпадения с обозначениями, указанными в формулировке задачи, можно в получившемся здесь итоговом равенстве переобозначить индексы: $p$ как $i,$ $r$ как $k,$ $n$ как $s.$



Короткий вывод:

$$\overline{\omega}_{ik}\,\overline{\omega}_{lm} = \overset{*}{e}{}_{ikp}\,\overset{*}{e}{}_{lmr}\,\overset{*}{\omega}{}^p\,\overset{*}{\omega}{}^r=\overline{g}\,\varepsilon_{ikp}\,\varepsilon_{lmr}\,\overset{*}{\omega}{}^p\,\overset{*}{\omega}{}^r$$

Учтём, что

$$\overline{g}\,\varepsilon_{ikp}=\varepsilon^{stu}\,\overline{g}_{si}\,\overline{g}_{tk}\,\overline{g}_{up}$$

Тогда:

$$\overline{\omega}_{ik}\,\overline{\omega}_{lm} = \varepsilon^{stu}\,\varepsilon_{lmr}\,\overline{g}_{si}\,\overline{g}_{tk}\,\overset{*}{\omega}{}_u\,\overset{*}{\omega}{}^r$$

Согласно (4,1)

$$\varepsilon^{stu}\,\varepsilon_{lmr}=\delta^s_l\,\delta^t_m\,\delta^u_r + \delta^s_m\,\delta^t_r\,\delta^u_l + \delta^s_r\,\delta^t_l\,\delta^u_m - \langle lm \rangle $$

Значит, получилось искомое равенство

$$\overline{\omega}_{ik}\,\overline{\omega}_{lm} = \overline{g}_{li}\,\overline{g}_{mk}\,\overset{*}{\omega}{}_r\,\overset{*}{\omega}{}^r + \overline{g}_{mi}\,\overset{*}{\omega}{}_l\,\overset{*}{\omega}{}_k + \overline{g}_{lk}\,\overset{*}{\omega}{}_m\,\overset{*}{\omega}{}_i - \langle lm \rangle $$

Для совпадения с обозначениями, указанными в формулировке задачи, можно второе и третье слагаемые, которые имеются перед $\langle lm \rangle $ (здесь они с плюсом), убрать в скобки $\langle lm \rangle ,$ а оттуда извлечь и явно выписать с минусом аналогичные слагаемые с переставленными индексами $l$ и $m.$ Кроме того, учитываем индексную симметрию $\overline{g}_{ik}=\overline{g}_{ki}.$ И если, наконец, "немой" индекс $r$ обозначить как $s:$

$$\overset{*}{\omega}{}_r\,\overset{*}{\omega}{}^r=\overset{*}{\omega}{}^s\,\overset{*}{\omega}{}_s\,,$$

то получается точно та формула, которую требуется вывести в задаче:

$$\overline{\omega}_{ik}\;\overline{\omega}_{lm}= \overline g_{il}\;\overline g_{km}\;\overset{*}{\omega}{}^s\;\overset{*}{\omega}{}_s-\overline g_{il}\;\overset{*}{\omega}{}_k\;\overset{*}{\omega}{}_m-\overline g_{km}\;\overset{*}{\omega}{}_i\;\overset{*}{\omega}{}_l -\langle lm \rangle$$

[Утундрий]

Cos(x-pi/2)
Даже короткий способ выглядит достаточно длинно. Можно просто вносить вектор, как множитель, в определитель и там его непосредственно сворачивать, если сворачивается. Получается довольно быстро, если удачно выбрать строку/столбец на который множим.

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий, спасибо; попробую вносить вектор в определитель (когда и если осознаю, как).

[Утундрий]

Я имел в виду, что свёртки вида $\left| {\begin{array}{cc} \delta_l^i & \delta_m^i \\ \delta_l^k & \delta_m^k \\ \end{array} } \right| a_i b_k$ можно вычислять, например, и так:
$\left| {\begin{array}{cc} \delta_l^i & \delta_m^i \\ \delta_l^k & \delta_m^k \\ \end{array} } \right| a_i b_k=\left| {\begin{array}{cc} \delta_l^i a_i & \delta_m^i a_i \\ \delta_l^k b_k & \delta_m^k b_k \\ \end{array} } \right| =\left| {\begin{array}{cc} a_l & a_m \\ b_l & b_m \\ \end{array} } \right|=a_l b_m -\langle lm \rangle$

[Утундрий]

И гнетущее молчание было ему ответом... Это свойство нуждается в доказательстве?

[alexgol176]

Утундрий
Я так понял, Вы пишете книгу и здесь предварительно выкладываете параграфы?
Попробую почитать... Надеюсь, не сломаю мозг...

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий

Утундрий в сообщении #1634958 писал(а):

И гнетущее молчание было ему ответом... Это свойство нуждается в доказательстве?

Спасибо. Пояснение про свёртки с определителями не нуждается в доказательстве.

(Оффтоп)

Молчал я (если о моём молчании речь), потому что вовремя не заметил это сообщение (не обижайтесь, пожалуйста, поддерживать диалог в режиме чата я не способен). Увидел только вот это Приложение А, и там я в ответ что-то вякнул. Хотелось бы увидеть продолжение всей темы; однако, разумеется, требовать этого не имею права и не смею.