Теорвер. Пара задачек

[kdm]

Добрый день.

Вот возникли проблемы с парой задачек по теории вероятности. Надеюсь, кто-нибудь сможет помочь)

1)Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид

$$ f(x) = Ax^{n-2}e^{\frac {-x^2}{2}}$$

Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайно величины X

Тут мне непонятно совсем, как определять А. Т.к на парах это не разбирали и в лекциях этого не нашел. Что нужно для этого сделать?


2)Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах прямоугольника со сторонами a и b. Найти мат. ожидание расстояния между этими точками.

Эта задачка вроде бы несложная, но все-таки не понимаю как действовать чтобы прийти к такому ответу:

$$\frac{a^2}{6b}ln{\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{a}} + \frac{b^2}{6a}ln{\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{a}} + \frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2}$$

Как я понимаю случайное расстояние между этими точками можно выразить через через прямоугольные координаты:

$$R = \sqrt{X^2 + Y^2}$$

А плотность вероятности будет такой:

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{ab}, $x^2 + y^2\leqslant a^2 + b^2$,\\ 0 , $x^2 + y^2\geqslant a^2 + b^2$ \end{array} \right. $$

Т.е.

$$M[R] = \frac{1}{ab}\int_{}^{}\int_{x^2 + b^2\leqslant a^2 + b^2}^{}\sqrt{X^2 + Y^2}dxdy$$

Но что-то мне кажется, что это неверно

Подскажите, пожалуйста

[ewert]

kdm писал(а):

1)Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид

$$ f(x) = Ax^{n-2}e^{\frac {-x^2}{2}}$$

Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайно величины X

Тут мне непонятно совсем, как определять А. Т.к на парах это не разбирали и в лекциях этого не нашел. Что нужно для этого сделать?

Тут надо в лоб интегрировать. Интеграл после соотв. замены сведётся к гамма-функции

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{\alpha-1}dt$$

. В зависимости от чётности $n$ получится или просто некий факториал, или двойной (нечётный) факториал, умноженный на корень из пи (ну и на ещё кое-что), или -- вот просто гамма-функция, и всё тут.

kdm писал(а):

2)Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах прямоугольника со сторонами a и b. Найти мат. ожидание расстояния между этими точками.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Как я понимаю случайное расстояние между этими точками можно выразить через через прямоугольные координаты:

$$R = \sqrt{X^2 + Y^2}$$

Конечно.

kdm писал(а):

А плотность вероятности будет такой:

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{ab}, $x^2 + y^2\leqslant a^2 + b^2$,\\ 0 , $x^2 + y^2\geqslant a^2 + b^2$ \end{array} \right. $$

С какой стати? Пространство событий -- просто тот самый прямоугольник, а распределение -- равномерное.

[kdm]

Спасибо

1) ну я вот эту тему плохо понимаю. Не совсем понял, откуда А-то возьмется)

[ewert]

$A$ -- это нормировочная постоянная. Она всегда определяется одинаково -- из условия нормировки: полная вероятность, т.е. интеграл от плотности по всей оси (а в данном случае по полуоси, т.к. отрицательные значения запрещены) должен быть равен единице.