2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение26.03.2024, 21:41 


21/04/22
356
Пусть $a, b \in \mathbb{C}$. Доказать, что если многочлен $x^3 + ax + b$ не имеет кратных корней, то не существует рациональной параметризации кривой $y^2 = x^3 + ax + b$.

Я рассуждал так. Пусть $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ - корни $x^3 + ax + b$. Предположим противное.
$$ (f/h)^2 = (g/h)^3 + a(g/h) + b $$
для некоторых $f, g, h \in \mathbb{C}[x]$, $\gcd(f, g, h) = 1$.
$$ f^2h = g^3 + agh^2 + bh^3 = (g - \alpha_1 h)(g - \alpha_2 h)(g - \alpha_3 h) $$
Пусть $q \mid h$ - неприводимый многочлен. Тогда $q \mid g$. Из уравнения видно, что степень вхождения $q$ в разложение многочлена $h$ на неприводимые ровно в три раза больше, чем степень его вхождения в $g$. Значит, найдутся взаимнопростые $u, v \in \mathbb{C}[x]$ и $c \in \mathbb{C}$, такие что $g = uv$, $h = cu^3$. Подставим это в уравнение.
$$cf^2 = (v - c \alpha_1 u^2)(v - c \alpha_2 u^2)(v - c \alpha_3 u^2)$$
Пользуясь тем, что $\gcd(u, v) = 1$ и $\alpha_i$ попарно различны, можно доказать, что сомножители в правой части попарно взаимнопросты. Значит, каждый из них с точность домножения на константу является квадратом.

Как решать дальше? Может быть, это тупиковый путь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение26.03.2024, 23:32 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
mathematician123 в сообщении #1634322 писал(а):
Из уравнения видно, что степень вхождения $q$ в разложение многочлена $h$ на неприводимые ровно в три раза больше, чем степень его вхождения в $g$.
Не видно, однако. Поясните пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 00:14 


21/04/22
356
vpb
$q$ не делит $f$, так как $\gcd(f, g, h) = 1$. Значит, $f^2h$ делится на меньшую степень многочлена $q$ чем $agh^2$, $bh^3$. Есть одно утверждение из теории чисел. Пусть
$$a_1 + \ldots + a_n = 0$$
Если $p$ простое и
$\nu_p(a_1) \le \nu_p(a_2) \le \ldots \le \nu_p(a_n)$, то $\nu_p(a_1) = \nu_p(a_2)$. Тогда по аналогии должно получаться, что $q$ входит в одинаковой степени в разлодение $hf^2$ и $g^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 00:24 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
mathematician123 в сообщении #1634322 писал(а):
Как решать дальше? Может быть, это тупиковый путь?

Вы пытаетесь доказать заметно более сильное утверждение, что нет рационального отображения из прямой в кубику (кроме постоянного, это случай $u = v = \operatorname{const}$). А чтобы проверить отсутствие рациональной параметризации, дополнительно предположите существование рациональной функции $p / q$ при $p, q \in \mathbb C[x, y] / (y^2 - x^3 - ax - b)$ такой, что $p(g / h, f / h) = x q(g / h, f / h)$, $g(p / q) = x h(p / q)$, $f(p / q) = y h(p / q)$. Хотя я не знаю, насколько легко это доказывать элементарными методами.

Ещё можно считать, что бесконечно удалённая точка переходит в бесконечно удалённую, то есть $\deg(f), \deg(g) > \deg(h)$, сделав подходящую дробно-линейную замену $x$. В терминах $u, v$ это означает, что $\deg(v) > 2 \deg(u)$. Может, так даже ваше сильное утверждение докажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 00:52 


21/04/22
356
dgwuqtj в сообщении #1634345 писал(а):
Вы пытаетесь доказать заметно более сильное утверждение, что нет рационального отображения из прямой в кубику (кроме постоянного, это случай $u = v = \operatorname{const}$).

Если честно, пока не очень знаю терминологию. Задачу взял здесь (упражнения после первого параграфа 1 главы). Нужно доказать что $y^2 = x^3 + ax + b$ не является рациональной, если $x^3 + ax + b$ не имеет кратных корней.

До этого на странице 8 доказывается, что кривая $x^n + y^n = 1$ не рациональна при $n \ge 3$. Я попытался решить по аналогии, но не смог. Задача находится в самом начале книги. Наверное должно быть не очень сложное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 01:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
А, Шафаревич так и определяет рациональность для кривых, забавно. Хотя именно для кривых это определение равносильно обычному по теореме Люрота...

Тогда будем считать, что $c = 1$ (не умаляя общности) и $2 \deg(u) < \deg(v)$. Вы пришли к тому, что существуют многочлены $f_1, f_2, f_3$ такие, что $f_i^2 = v - \alpha_i u^2$. Многочлены $f_i$ имеют одинаковую степень $\deg(v) / 2 > 0$ и общие старшие коэффициенты (в том смысле, что их разности имеют степень меньше $\deg(v) / 2$). Можно из этой системы исключить $v$ и заменить $f_2, f_3$ на их разности с $f_1$, тогда вроде легко получить противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 06:06 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
А из формулы Римана-Гурвица это не следует (мат. энциклопедия) ? Из неё следует, что поверхность рода 1 нельзя накрыть поверхностью рода 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 08:15 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Padawan в сообщении #1634358 писал(а):
А из формулы Римана-Гурвица это не следует (мат. энциклопедия)? Из неё следует, что поверхность рода 1 нельзя накрыть поверхностью рода 0.
Беда в том, однако, что до того факта, что эллиптическая кривая --- это ${\mathbb C}/\Lambda$, сто верст, и всё лесом. (На самом деле даже не сто, а стопицот).

-- 27.03.2024, 07:58 --

mathematician123 в сообщении #1634344 писал(а):
сть одно утверждение из теории чисел. Пусть
А, ну да, спасибо.

Вообще говоря, так. Двигаетесь Вы в правильном направлении, но как дальше, я не знаю. Точнее, не помню. Это есть в книжке М.Рид, Алгебраическая геометрия для всех, в конце первой главы. Там вроде дальше будет какое-то рассуждение с бесконечным спуском. Можете посмотреть, в общем.

Книжка Шафаревича несомненно хорошая, но для начала может быть трудновата. Есть полегче. Тот же Рид, или старая книжка Уокер, Алгебраические кривые, или Кокс-Литл-О'Ши, Идеалы, многообразия, алгоритмы, или Garrity, Belshof, e.a., Algebraic geometry: A problem solving approach. Но, книжка Уокера хоть и хорошая (это не мое личное мнение (я только однажды заглядывал туда), а одного умного человека с форума), но там старая система понятий (в духе А.Вейля). А, есть еще Харрис, Алгебраическая геометрия, начальный курс. И есть еще некоторое количество начальных курсов, но их опустим.

Книжка Шафаревича, кажется, долгое время вообще считалась учебником номер 1 в мире по АГ (с тех пор, как вскоре после выхода ее перевели на немецкий и английский). Да и сейчас не утратила значения, являясь серьезной (более, чем те, что выше), но более доступной, чем Харстхорн или Гриффитс-Харрис.

(А я сам, есличо, не специалист, только самые начала знаю. Даже первый том Шафаревича полностью не знаю. Я так много написал оттого, что вижу, Вы читаете самое первое издание Шафаревича, которое еще в УМН, так может, думаю, в существующих книжках не ориентируетесь. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 12:19 


21/04/22
356
dgwuqtj в сообщении #1634348 писал(а):
Тогда будем считать, что $c = 1$ (не умаляя общности) и $2 \deg(u) < \deg(v)$. Вы пришли к тому, что существуют многочлены $f_1, f_2, f_3$ такие, что $f_i^2 = v - \alpha_i u^2$.

vpb в сообщении #1634366 писал(а):
Вообще говоря, так. Двигаетесь Вы в правильном направлении, но как дальше, я не знаю. Точнее, не помню. Это есть в книжке М.Рид, Алгебраическая геометрия для всех, в конце первой главы. Там вроде дальше будет какое-то рассуждение с бесконечным спуском. Можете посмотреть, в общем.

Спасибо, я не учёл, что мы работаем в алгебраически замкнутом поле. Говорить, что многочлены являются квадратами с точностью до константы не нужно, так как все константы являются квадратами. В книге Майлса Рида разбирается случай $\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = 1$, но общий случай к нему сводится. После замены $x_1 = x - \alpha_1$ получаем уравнение вида
$$y^2 = x_1(x_1 - \beta_1)(x_1 - \beta_2)$$
Затем делаем замены $x_1 = \beta_1 x_2$, $y = \beta_1 \sqrt{\beta_1} y_1$.

-- 27.03.2024, 12:43 --

dgwuqtj в сообщении #1634348 писал(а):
Тогда будем считать, что $c = 1$ (не умаляя общности) и $2 \deg(u) < \deg(v)$.

Почему можно считать, что $2 \deg(u) < \deg(v)$? Кажется, доказать невозможность случая $2 \deg(u) \ne \deg(v)$ можно с помощью производных. Но у меня возникли проблемы в случае, когда $2 \deg(u) = \deg(v)$, $\deg(f_1) < \deg(f_2) = \deg(f_3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 13:22 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
dgwuqtj в сообщении #1634345 писал(а):
Ещё можно считать, что бесконечно удалённая точка переходит в бесконечно удалённую, то есть $\deg(f), \deg(g) > \deg(h)$, сделав подходящую дробно-линейную замену $x$. В терминах $u, v$ это означает, что $\deg(v) > 2 \deg(u)$.

Вот, я же предлагал вам сделать подходящую замену. Так как рациональная параметризация не единственна (если существует), то логично брать не любую, а достаточно хорошую.

Конечно, утверждение следует из Римана - Гурвица, причём над любым алгебраически замкнутым полем, но там большая и не элементарная теория (основанная на когомологиях пучков или на аделях).

Как учебник двухтомник Шафаревича вроде неплох, я ещё изучал Мамфорд, Красная книга о многообразиях и схемах, 1 глава. Она заметно меньше по объёму и количеству материала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 18:03 


21/04/22
356
dgwuqtj в сообщении #1634395 писал(а):
dgwuqtj в сообщении #1634345 писал(а):
Ещё можно считать, что бесконечно удалённая точка переходит в бесконечно удалённую, то есть $\deg(f), \deg(g) > \deg(h)$, сделав подходящую дробно-линейную замену $x$. В терминах $u, v$ это означает, что $\deg(v) > 2 \deg(u)$.

Вот, я же предлагал вам сделать подходящую замену. Так как рациональная параметризация не единственна (если существует), то логично брать не любую, а достаточно хорошую.

А где про это можно прочитать? Допустим, есть функция $\frac{t^2 + 2}{t^2 - 1}$. Можно сделать замену $t = 1/u + 1$.
$$ \frac{t^2 + 2}{t^2 - 1}  = \frac{1 + 2u + 3u^2}{1 + 2u} $$
Это я угадал. А в общем случае как?

Завершить доказательство можно так. Так как достаточно рассмотреть случай $\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = 1$, то вместо уравнения
$$ f^2 = (v - \alpha_1 u^2)(v - \alpha_2 u^2)(v - \alpha_3 u^2) $$
достаточно рассмотреть уравнение
$$ f^2 = v(v - u^2)(v - \alpha u^2) $$
Тогда $v = f_1^2$, $f_1^2 - u^2 = f_2^2$, $f_1^2 - \alpha u^2 = f_3^2$. Откуда $f_1 - u = g_1^2$, $f_1 + u = g_2^2$, $f_1 - \sqrt{\alpha} u = g_3^2$, $f_1 + \sqrt{\alpha} u = g_4^2$. Без ограничения общности $\deg(g_1) \ge \deg(f_2) > \deg(u)$. Но $(g_1 - g_3)(g_1 + g_3) = (\sqrt{\alpha} - 1)u$, что невозможно, так как $\deg(g_1 - g_3) > \deg(u)$ либо $\deg(g_1 + g_3) > \deg(u)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 18:44 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
mathematician123 в сообщении #1634427 писал(а):
А где про это можно прочитать?

Так навскидку не скажу, это следствие того, что рациональные морфизмы между гладкими проективными кривыми однозначно продолжаются до обычных морфизмов (регулярных отображений), ну и что дробно-линейные преобразования транзитивно действуют на проективной прямой.

В вашем случае можно руками. Любая рациональная функция одной переменной задаёт отображение из $\mathbb C \cup \{\infty\}$ в себя. Причём если оно не постоянное, то оно сюръективное в силу алгебраической замкнутости. Ну и возьмите композицию с дробно-линейным отображением, переходящим бесконечность в один из прообразов бесконечности. Вторая рациональная функция тогда тоже будет сохранять бесконечность (иметь у числителя степень больше, чем у знаменателя) в силу уравнения между ними, это потому что кубика имеет одну бесконечно удалённую точку в проективной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 20:37 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
dgwuqtj в сообщении #1634432 писал(а):
Ну и возьмите композицию с дробно-линейным отображением, переходящим бесконечность в один из прообразов бесконечности.

Тут важно, что композиция рациональных функций одной переменной задаёт композицию теоретико-множественных преобразований $\mathbb C \cup \{\infty\}$. Для комплексных чисел это следует из их непрерывности в обычной топологии, но вообще это так для любого поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение27.03.2024, 21:58 


21/04/22
356
dgwuqtj в сообщении #1634432 писал(а):
В вашем случае можно руками. Любая рациональная функция одной переменной задаёт отображение из $\mathbb C \cup \{\infty\}$ в себя. Причём если оно не постоянное, то оно сюръективное в силу алгебраической замкнутости. Ну и возьмите композицию с дробно-линейным отображением, переходящим бесконечность в один из прообразов бесконечности.

Да, оказалось просто. Можно даже явно указать замену. Если есть несократимая дробь $\frac{f(t)}{g(t)} $, то после замены $t = 1/u + \alpha$, где $\alpha$ - корень $g(t)$, получится, что в знаменателе свободный член сократится, а в числителе нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная параметризация y^2 = x^3 + ax + b
Сообщение29.03.2024, 02:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Для сведения ТС хочу уточнить, что Мамфорд, скажем так, не самый понятный, умелый и заботливый к читателю автор. Хотя и выдающийся ученый.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group