Задача о раскраске и граничные точки

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1632558 писал(а):

плотность вертикальных линий не поменялась после преобразования, а плотность горизонтальных- поменялась, причем неравномерно. Но вы утверждаете, что она всюду одинакова

Ни в коем случае не утверждаю.

Вы говорили о плотности краски. Я тоже говорю о плотности краски. А она не изменится, если при преобразовании любая фигура перейдёт в фигуру с той же площадью. У меня это выполняется — любой квадратик деформируется так, что его площадь сохраняется. Это можно показать элементарными методами:


Вот простой пример, который показывает, что изменение плотности координатных линий ничего не говорит об изменении площади элементарной площадки. Аффинное преобразование. Между вертикальными линиями расстояние одна клеточка (левая картинка), но их наклонные образы заметно ближе друг к другу (правая картинка).

Тем не менее, площади параллелограммов справа по-прежнему единичны (у них единичное основание и единичная высота) и равны площади квадратиков-прообразов. Поэтому плотность краски не изменится.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632593 писал(а):

Вы говорили о плотности краски. Я тоже говорю о плотности краски. А она не изменится, если при преобразовании любая фигура перейдёт в фигуру с той же площадью. У меня это выполняется — любой квадратик деформируется так, что его площадь сохраняется. Это можно показать элементарными методами:

Я не спорю с тем, что площадь квадратика после преобразования сохраняется. И даже привел пример с эллипсом, поясняющий, почему не сохраняется плотность краски после преобразования Вашей фигуры. Нужно различать плотность краски фигуры и плотность краски ее границы. Сохранится ли она? - нет. Причем изменится неравномерно, по горизонтальным участкам границы не изменится, а по вертикальным- изменится.фигура собственно и состоит из площади и ее границы. Можно сказать, что деформации- это преобразования, сохраняющие объем тела, но изменяющие объем его границы. Те преобразования фигур, что Вы привели есть деформации.

svv в сообщении #1632593 писал(а):

Поэтому плотность краски не изменится.

Еще раз обратите внимание на пример с деформацией круга в эллипс.
Плотность краски границы меняется. Так же как и в случае Ваших примеров.

[svv]

Если Вы здесь,

Alpha AXP в сообщении #1632531 писал(а):

2. Преобразования меняют плотность одинаково во всех точках - афинные

говоря об изменении плотности краски при преобразовании, подразумевали также и изменение плотности на границах фигур (считая постоянным количество краски на границе), тогда Ваша классификация неверна:

Тут преобразование аффинное, но на наклонных отрезках справа (по сравнению с их вертикальными прообразами слева) плотность "граничной краски" уменьшится, а на горизонтальных не изменится.

Если же Вы тут

Alpha AXP в сообщении #1632531 писал(а):

2. Преобразования меняют плотность одинаково во всех точках - афинные

говорили только о плотности как количестве краски на объем (в стереометрии) или площадь (в планиметрии) самой фигуры, а не её границы, то Вы сейчас меняете своё утверждение по ходу разговора.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632616 писал(а):

оворя об изменении плотности краски при преобразовании, подразумевали также и изменение плотности на границах фигур (считая постоянным количество краски на границе), тогда Ваша классификация неверна:

Я не силен в классификации преобразований и геометрий. Подразумевал под афинными преобразования типа: увеличили пропорционально одномерную протяженность, например окружность- плотность краски равномерно изменилась.

В любом случае идея с объемом инжектированной в пространство краски в качестве инварианта мне кажется плодотворной. И на ее основе, рассматривая поведение плотности краски можно произвести некое объединение различных геометрий (Насколько знаю - это давняя мечта математиков, еще Клейн в эрлангенской программе задавался подобной целью) и их классификацию.
Моей квалификации точно не хватит, даже для того, чтобы грубо оценить перспективы.

[svv]

Ок. Вы, пожалуйста, имейте в виду, что вот такое преобразование тоже является аффинным, хотя, как видите, о сохранении (даже с точностью до постоянного множителя) линейной плотности краски на границе тут говорить не приходится. Здесь Ваш критерий аффинности расходится с общепринятым. В настоящее время сохранение параллельности и непараллельности прямых считается более важным свойством.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632644 писал(а):

Ок. Вы, пожалуйста, имейте в виду, что вот такое преобразование
тоже является аффинным, хотя, как видите, о сохранении (даже с точностью до постоянного множителя) линейной плотности краски на границе тут говорить не приходится. Здесь Ваш критерий аффинности расходится с общепринятым. В настоящее время сохранение параллельности и непараллельности прямых считается более важным свойством.

Хорошо, спасибо.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632545 писал(а):

Теперь утверждение

Alpha AXP в сообщении #1632531 писал(а):

2. Преобразования меняют плотность одинаково во всех точках - афинные

можно переформулировать так: если якобиан преобразования — константа, то преобразование аффинное.

Увы, это неверно. Например:
$\tilde x=x,\;\tilde y=y+x^2$ (обратные формулы $x=\tilde x,\;y=\tilde y-\tilde x^2$)
Якобиан всюду равен $1$ (т.е., в Вашей терминологии, плотность краски не меняется), но преобразование не аффинное. Изобразить его можно так:

Что если сказать так: Необходимый, но недостаточный признак афинности преобразования - изменение плотности краски с одинаковым коэффициентом во всех точках фигуры?

И даже более:
Преобразование афинное, если изменение плотности краски в любой точке происходит с двумя постоянными коэффициентами, назовем их вертикальным и горизонтальным?

В Вашем примере они непостоянны, постоянно лишь их произведение, насколько я понимаю.
Итого:
1. Преобразования не меняют плотность распределения краски.-евклидова геометрия(повороты, параллельные сдвиги, в общем все то, что не меняет форму и размеры тел.
2. Преобразование плотности краски в любой точке происходит с двумя постоянными коэффициентами- афинные.
3. Преобразования тел могут происходить с непостоянными коэффициентами- более сложные геометрии в т.ч. проективная.

[svv]

Alpha AXP
Прошу уточнить, эти Ваши утверждения относятся и к "граничной" плотности краски? Очевидно, да, можно не отвечать.

Дальше вопрос — что такое "вертикальный коэффициент" и "горизонтальный коэффициент"?

Предположу, что "вертикальный коэффициент" — это коэффициент, на который при преобразовании плоскости умножается линейная плотность краски для вертикальных (= параллельных оси $Oy$) прямых. Понятно, что
1) образами таких прямых могут быть прямые, не параллельные $Oy$, и даже вовсе не прямые;
2) коэффициент увеличения линейной плотности может зависеть от точки.
Аналогично, "горизонтальный коэффициент" относится к прямым, параллельным $Ox$. Преобразование может их переводить в прямые, не параллельные $Ox$, и даже вовсе не в прямые.

Так?

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632767 писал(а):

Так?

Насколько я способен понимать - так.

И классификацию преобразований-геометрий можно углубить и расширить)
1. Если коэффициенты линейной плотности краски равны 1.
2. Если равны одинаковым константам отличным от 1.
3. Разным константам, отличным от 1.
4. Один константе- другой переменная.
5. Оба переменные- меняются одинаково.
6. Оба переменные - меняются по-разному.

Вы согласны с возможностью такой классификации геометрий- преобразований и введения для них общего инварианта- количества краски?

Если общий инвариант есть, то мы можем легко переходить в рамках рассмотрения этого инварианта от одной геометрии к другой. Согласны?

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1632772 писал(а):

И классификацию преобразований-геометрий можно углубить и расширить)
1. Если коэффициенты линейной плотности краски равны 1.

Линейная плотность краски равна 1, значит на линию длиной 1 уйдёт 1 единица краски. Вопрос, сколько краски уйдёт на точку?

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1633016 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1632772 писал(а):

И классификацию преобразований-геометрий можно углубить и расширить)
1. Если коэффициенты линейной плотности краски равны 1.

Линейная плотность краски равна 1, значит на линию длиной 1 уйдёт 1 единица краски. Вопрос, сколько краски уйдёт на точку?

Вот поэтому количество краски лучше измерять в слоях. Точку покрасили в 1 слой, также как и линию. Или на точку ушло краски столько, чтобы покрасить ее в 1 слой.

[Alpha AXP]

В геометрии преобразования исторически происхтдят с протяженностями, а крвска -считается халявной и можно не обращать на нее внимания. Но это не так, потому, что все преобразования в первую очередь происходят с краской.

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1633079 писал(а):

Вот поэтому количество краски лучше измерять в слоях. Точку покрасили в 1 слой, также как и линию. Или на точку ушло краски столько, чтобы покрасить ее в 1 слой.

Ответ не понял.

Alpha AXP в сообщении #1633088 писал(а):

В геометрии преобразования исторически происхтдят с протяженностями, а крвска -считается халявной и можно не обращать на нее внимания. Но это не так, потому, что все преобразования в первую очередь происходят с краской.

Это замечательно. То есть, Ваша геометрия, которую Вы только чувствуете, но не можете сформулировать, она истинная. А та которая есть сейчас её сразу в топку, потому что с краской неправильно обращаются. Правильно понял мысль?

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1633128 писал(а):

Ответ не понял

Вы, своим вопросом, подвели меня к проблеме о которой я уже размышлял и по сути уже предлагал вариант ее решения.
Решение заключается в том, что количество краски измеряется количеством ее слоев, а не килограммами или литрами.раскрасили квадратный метр в один слой-значит и любая точка этого квадратного метра раскрашенс в 1 слой.

talash в сообщении #1633128 писал(а):

Это замечательно. То есть, Ваша геометрия, которую Вы только чувствуете, но не можете сформулировать, она истинная. А та которая есть сейчас её сразу в топку, потому что с краской неправильно обращаются. Правильно понял мысль?

Почему в топку? Срочно объединять их и вводить общий инвариант- разрабатывать теорию в которую они войдут как частные случаи.
Как я уже сказал у меня на это нет ни образования, ни квалификации. Просто пришла интересная на мой взгляд идея, которая кажется мне перспективной. На этом я могу окончить свою миссию в этой теме. Идея изложена. Вопросов особо нет, На те что были ответы совместными усилиями получили. Если идея не стоит внимания и я несу чушь- снесите пожалуйста тему в пургаторий.

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1633181 писал(а):

Решение заключается в том, что количество краски измеряется количеством ее слоев, а не килограммами или литрами.раскрасили квадратный метр в один слой-значит и любая точка этого квадратного метра раскрашенс в 1 слой.

Давайте теперь взаимно-однозначно отобразим этот квадратный метр на квадратный километр. Слой краски как был один так один и остался. Выходит количество краски сохранилось?