ХРИН 03 Синхронная система отсчёта

[Утундрий]

Ende
Исправлена опечатка в формуле.

В этом параграфе мы рассмотрим одну специальную систему отсчёта, которая подарит нам два новых объекта.

Также примем сокращающее выкладки соглашение: конструкцию $u_{ik}\pm\langle ik \rangle$ будем понимать как $u_{ik}\pm u_{ki}$, где $u_{ik}$ — любое выражение, имеющее по меньшей мере два перечисленных в угловых скобках индекса, находящихся на одном уровне. Если конструкция заключена в скобки, то исключительно в скобках она и действует: $\left(u_{ik}-\langle ik \rangle \right)+w_{ik}\equiv u_{ik}-u_{ki}+w_{ik}$.

§3 Синхронная система отсчёта

Запишем общий вид квадрата интервала в координатах, сопутствующих некоторой системе отсчёта:

$$(\delta s)^2 =\left(h\; dx^0-a_i\; dx^i\right)^2-\overline g_{ik}\;dx^i \;dx^k $$

и рассмотрим ситуацию, когда выражение в скобках является полным дифференциалом. То есть, когда существует такая функция $t$, что $dt=h\;dx^0-a_i \;dx^i$. При заданных $h$ и $a_i$ функцию $t$ можно найти из системы

$$\left\{ {\begin{array}{l} t_{,0} = h \\ t_{,i} = -a_i \\ \end{array} } \right. \eqno (3,1)$$

Критерием интегрируемости подобных систем является равенство смешанных производных неизвестной функции, вычисленных "в силу системы". В данном случае это даёт условия

$$\left\{ {\begin{array}{l} h_{,i}+a_{i,0} = 0 \\ a_{i,k} - a_{k,i}=0 \\ \end{array} } \right. \eqno (3,2)$$

Выясним, как ведут себя эти условия при хронометрических преобразованиях. Для этого перепишем соотношения $(2,10)$ в следующей форме

$$\left\{ {\begin{array}{l} h=\sigma \; x^{\tilde 0}_{,0}\;\tilde h\\ a_i=\sigma \;( x^{\tilde k}_{,i}\;a_{\tilde k}- x^{\tilde 0}_{,i}\;\tilde h)\\ \end{array} } \right. $$

Далее последовательно находим

$h_{,i}=\sigma \; ( x^{\tilde 0}_{,0}\;\tilde h)_{,i}=\sigma \left[x^{\tilde 0}_{,0i}\;\tilde h+x^{\tilde 0}_{,0}\left({\tilde h}_{,\tilde 0}\; x^{\tilde 0}_{,i}+{\tilde h}_{,\tilde k}\; x^{\tilde k}_{,i}\right)\right]$ $
$a_{i,0}=\sigma \;( x^{\tilde k}_{,i}\;a_{\tilde k}- x^{\tilde 0}_{,i}\;\tilde h)_{,0}=\sigma \left[- x^{\tilde 0}_{,i0}\;\tilde h+x^{\tilde 0}_{,0}\left( x^{\tilde k}_{,i}\;a_{\tilde k,\tilde 0}- x^{\tilde 0}_{,i}\;{\tilde h}_{,\tilde 0}\right)\right] $
$\dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)= \dfrac \sigma h \; x^{\tilde 0}_{,0} \; x^{\tilde k}_{,i} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+ a_{\tilde k,\tilde 0} \right)=x^{\tilde k}_{,i}\cdot\dfrac 1 {\tilde h} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+ a_{\tilde k,\tilde 0} \right)$

Введём обозначение для только что полученного объекта

$$\theta_i \equiv \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right) \eqno (3,3)$$

который преобразуется по закону

$$\theta_i=x^{\tilde s}_{,i}\;\theta_{\tilde s}\eqno (3,4)$$

и тем самым является хивектором.

Так же поступаем со второй строчкой $(3,2)$:

$a_{i,k}-\langle i k \rangle=\sigma \;( x^{\tilde s}_{,i}\;a_{\tilde s}- x^{\tilde 0}_{,i}\;\tilde h)_{,k}-\langle i k \rangle=$
$=\sigma \left[ x^{\tilde s}_{,i}\left(a_{\tilde s,\tilde 0}\;x^{\tilde 0}_{,k}+a_{\tilde s, \tilde m}\;x^{\tilde m}_{,k}\right)- x^{\tilde 0}_{,i}\left({\tilde h}_{,\tilde 0}\;x^{\tilde 0}_{,k}+{\tilde h}_{,\tilde m}\;x^{\tilde m}_{,k}\right)\right]-\langle i k \rangle=$
$=\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\left[x^{\tilde 0}_{,k} \left(a_{\tilde s,\tilde 0}+{\tilde h}_{,\tilde s}\right)+a_{\tilde s, \tilde m}\;x^{\tilde m}_{,k}\right]-\langle i k \rangle=$
$=\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\left[ \left(x^{\tilde m}_{,k}\;a_{\tilde m}-\sigma\;a_k\right)\theta_{\tilde s}+a_{\tilde s, \tilde m}\;x^{\tilde m}_{,k}\right]-\langle i k \rangle=$
$=-\theta_i\;a_k+\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\;x^{\tilde m}_{,k}\left( a_{\tilde m}\;\theta_{\tilde s}+a_{\tilde s, \tilde m}\right)-\langle i k \rangle$

что можно переписать так

$a_{i,k}+\theta_i\;a_k-\langle i k \rangle=\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\;x^{\tilde m}_{,k}\left( a_{\tilde s, \tilde m}+\theta_{\tilde s}\;a_{\tilde m} \right)-\langle i k \rangle=$
$=\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\;x^{\tilde m}_{,k}\left( a_{\tilde s, \tilde m}+\theta_{\tilde s}\;a_{\tilde m}-\langle \tilde s \tilde m \rangle\right)$

и ввести ещё один объект

$$\zeta_{ik} \equiv a_{i,k} - a_{k,i} + \theta_i\; a_k - \theta_k\; a_i \eqno (3,5)$$

преобразующийся по закону

$$\zeta_{ik}=\sigma\;x^{\tilde s}_{,i}\;x^{\tilde m}_{,k}\;\zeta_{\tilde s \tilde m}\eqno (3,6)$$

отличающемуся от хитензорного наличием дополнительного множителя $\sigma$.

В предыдущем параграфе нам уже встречалась величина $\delta \overline \tau$, преобразующаяся, согласно $(2,12)$, похожим образом. Такое разнообразие заслуживает нового определения. А именно, расширим понятие хитензора на объекты, преобразующиеся по законам $(3,6)$, $(1,12)$ и им подобным. При этом объекты, содержащие в законе преобразования сигму, будем называть Т-нечётными хитензорами, а не содержащие — Т-чётными.

Для наглядности перечислим все рассмотренные на данный момент объекты в форме таблички:

$$\begin{tabular}{c|c} Т-чётные & Т-нечётные \\ \hline & \\ $\delta s\quad\delta \overline l$ & $\delta \overline \tau$ \\ $dx^i \quad \theta_k $& \\ $\overline{g}_{ik}$ & $\zeta_{ik}$ \end{tabular}$$

В дальнейшем список этот не только будет пополнен, но даже обогатится ещё одним бинарным признаком.

Однако вернёмся к условиям интегрирования $(3,2)$, которые теперь можно переписать в форме

$$\left\{ {\begin{array}{l} \theta_i = 0 \\ \zeta_{ik} = 0 \\ \end{array} } \right. \eqno (3,7)$$

из которой очевидна их инвариантность относительно хронометрических преобразований. Следовательно, эти условия выполняются (или не выполняется) для любых координат, сопутствующих фиксированной системе отсчёта.

Таким образом мы можем сказать, что возможность обладать (либо не обладать) столь замечательной функцией $t$, свойства которой описаны выше, является характеристическим свойством самой системы отсчёта.

Если система отсчёта введена так, что выполнены условия $(3,7)$, то её принято называть синхронной . Это обстоятельство связано с тем, что всегда можно совершить хронометрическое преобразование, объявляющее функцию $t$ новой нулевой координатой $x^0$, после чего интервал примет канонический вид

$$(\delta s)^2 =\left(dx^0\right)^2-\overline g_{ik}\;dx^i \;dx^k \eqno (3,8)$$

Задача
Вычислите свёртки $\theta_i \theta^i$ и $\zeta_{ik}\zeta^{ik}$ для любого понравившегося вам интервала. Индексы поднимайте при помощи $\overline{g}^{ik}$.

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий, пытаюсь ответить на двух примерах (опять-таки с извинениями за возможную ошибочность или/и тривиальность этой попытки):

(попытка решить задачу)

--------------

1-й пример - обычная формула интервала из СТО: $(\delta s)^2 =\left(dx^0\right)^2-\delta_{ik}\,dx^i\,dx^k\,,$ где $\delta_{ik}$ - символ Кроненкера. В этом случае: $h=1,$ $a_i=0.$ Производные этих величин равны нулю, поэтому $\theta_i=0,$ $\zeta_{ik}=0,$ и, следовательно, равны нулю искомые свёртки: $\theta_i \theta^i=0$ и $\zeta_{ik}\zeta^{ik}=0.$

Функция $t,$ производная которой есть $t_{,0}=h=1,$ это просто $t=x^0+C,$ где $C$ - постоянная.

--------------

2-й пример - из задачи в разделе 01:

$$(\delta s)^2 =\left( 1-\dfrac{1}{r} \right) (dt)^2-\dfrac{r}{r-1} (dr)^2-r^2 \left[ (d \theta )^2+\sin^2(\theta) (d \varphi)^2 \right]\,. $$

Выбор $x^0$ такой, что линии $x^i=const$ являются мировыми, указан для двух областей в двух сообщениях Razgulyay: 1 и 2.

В первой области $x^0=t,$ $x^1=r>1,$ поэтому

$$h=\sqrt{g_{00}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{x^1}}\,,\qquad h_{,1}=\dfrac{1}{2(x^1)^2\sqrt{1-1/x^1}}\,.$$

Остальные $h_{,i}=0.$ Так как $g_{0i}=0,$ то $a_i=0.$ Не равной нулю оказывается только

$$\theta_1=\frac{h_{,1}}{h} = \frac{1}{2x^1(x^1-1)}.$$

Тогда

$$\theta^i=\overline{g}^{ik}\theta_k = \overline{g}^{i1}\theta_1\,,$$

где отлична от нуля только $\overline{g}^{11}=1/\overline{g}_{11}=-1/g_{11}=\dfrac{x^1-1}{x^1}.$ Поэтому: $\theta^1=\dfrac{1}{2(x^1)^2}$ и

$$\theta_i\theta^i=\theta_1\theta^1=\frac{1}{4(x^1)^3(x^1-1)}\,.$$

Так как все $a_i=0,$ то $\zeta_{ik}=0$ и $\zeta_{ik}\zeta^{ik}=0.$

(Не знаю, как это прокомментировать, и не ошибся ли.)

Во второй области, где $0<x^0=r<1,$ $x^1=t,$ имеем:

$$h=\sqrt{g_{00}}= \frac{\sqrt{x^0}}{\sqrt{1-x^0}}\,, \qquad a_i=0\,.$$

Поэтому:

$$h_{,i}=0,\qquad \theta_i=0, \qquad \zeta_{ik}=0.$$

Следовательно, искомые свёртки равны нулю: $\theta_i \theta^i=0$ и $\zeta_{ik}\zeta^{ik}=0.$

Функция $t,$ производная которой $t_{,0}$ равна $h=\frac{\sqrt{x^0}}{\sqrt{1-x^0}},$ есть

$$t=-\sqrt{x^0}\sqrt{1-x^0}-\arctg \sqrt{\frac{1}{x^0}-1} + C\,.$$

[Утундрий]

Cos(x-pi/2)
Всё верно.

А ненулевые $\zeta_{ik}$ можно лицезреть, например, в метрике Гёльдера.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1632760 писал(а):

$\dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)= \dfrac \sigma h \; x^{\tilde 0}_{,0} \; x^{\tilde k}_{,i} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+{\tilde a}_{\tilde k,\tilde 0} \right)=x^{\tilde k}_{,i}\cdot\dfrac 1 {\tilde h} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+{\tilde a}_{\tilde k,\tilde 0} \right)$

Должно быть, конечно, так:
$\dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)= \dfrac \sigma h \; x^{\tilde 0}_{,0} \; x^{\tilde k}_{,i} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+ a_{\tilde k,\tilde 0} \right)=x^{\tilde k}_{,i}\cdot\dfrac 1 {\tilde h} \left( {\tilde h}_{,\tilde k}+ a_{\tilde k,\tilde 0} \right)$

[Утундрий]

Ende
Исправлена опечатка в формуле.

Приложение А

Между прочим, уже на этом этапе можно решать какие-то содержательные задачи.

Например, пусть дана метрика

$$(\delta s)^2=(\rho\;d\tau)^2-(d\rho)^2 \eqno (a,1)$$

и очерчена область $\rho >0$.

Если вычислить $\theta$-свёртку, то её поведение при $\rho \rightarrow 0$ будет вполне безобразным.

А давайте-ка перейдём в синхронную систему отсчёта?

Для этого совершим НЕ хронометрическое преобразование координат

$$\left\{ {\begin{array}{l} \tau = x^0 \\ \rho = \rho (x^0,x^1) \\ \end{array} } \right. \eqno (a,2)$$

которое приводит метрику к форме

$$g_{00}=\rho^2-\dot{\rho}^2, \qquad g_{01}=-\dot{\rho}\rho', \qquad g_{11}=-(\rho')^2$$

и является допустимым при условии $\rho'\ne 0$.

Здесь для краткости точкой над символом обозначена частная производная по нулевой координате, а штрихом — по первой.

Новые координаты будут сопутствующими хотя бы какой-то системе отсчёта при условии $\rho^2-\dot{\rho}^2>0$, что и предполагаем. Тогда

$$h=\sqrt{\rho^2-\dot{\rho}^2}, \qquad a_1=\dfrac{\dot{\rho}\rho'}{h}, \qquad \overline{g}{}_{11}=\dfrac{(\rho \rho')^2}{\rho^2-\dot{\rho}^2}$$

Теперь, поскольку наша цель — переход в синхронную систему отсчёта, полагаем

$$h_{,1}+a_{1,0}=0$$

Что эквивалентно

$$}\rho \ddot{\rho}-2\dot{\rho}^2+\rho^2=0$$

Общее решение этого уравнения имеет вид

$$\rho=\dfrac{A(x^1)}{\operatorname{ch}\left[x^0+B(x^1)\right]}$$

Однако нам сгодится любое, удовлетворяющее приведенным выше неравенствам. Например

$$\rho=\dfrac{x^1}{\operatorname{ch}(x^0)}$$

Найденное преобразование решает поставленную задачу, но приводит к настолько отвратительному виду интервала, что мы его даже не станем выписывать. Отметим только, что

$$h=\dfrac{x^1}{\operatorname{ch}^2 (x^0)} , \qquad a_1=-\operatorname{th}(x^0), \qquad \overline{g}{}_{11}=1}$$

и мгновенно перейдём к построению "замечательной функции" $t$, которое производится без особого труда:

$$dt=h\;dx^0-a_1\;dx^1=d\left(x^1\;\operatorname{th}(x^0)\right)$$

Итак, окончательно получаем преобразование

$$\left\{ {\begin{array}{l} t=\rho\;\operatorname{sh}(\tau) \\ x^1=\rho\;\operatorname{ch}(\tau) \\ \end{array} } \right. \eqno (a,3)$$

приводящее интервал к виду

$$(\delta s)^2=(dt)^2-(dx^1)^2 \eqno (a,4)$$

Заметим, что проще простого ввести "от балды" $(a,3)$ и тем самым изуродовать $(a,4)$ до неузнаваемости; а вот обратный процесс требует гораздо более серьёзных усилий.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1635142 писал(а):

$$\left\{ {\begin{array}{l} t=\rho\;\operatorname{sh}(\tau) \\ x^1=\rho\;\operatorname{sh}(\tau) \\ \end{array} } \right. \eqno (a,3)$$

Опять же, должно быть

$$\left\{ {\begin{array}{l} t=\rho\;\operatorname{sh}(\tau) \\ x^1=\rho\;\operatorname{ch}(\tau) \\ \end{array} } \right. \eqno (a,3)$$

P. S. То ли никто не читает, то ли всем по барабану.

P. P. S. И да, невозможность редактировать спустя час, коей мы обязаны одному экс-заслуженному психопату, реально бесит!

[Cos(x-pi/2)]

(оффтоп 1)

Утундрий в сообщении #1635244 писал(а):

То ли никто не читает, то ли всем по барабану

Даже если читатели есть, вряд ли стоит ожидать быстрой реакции. Например, я стараюсь читать по мере возожности, но жизненные обстоятельства позволяют просматривать форум лишь урывками. На обдумывание ответов требуется выкраивать время. Вероятнее всего, другие люди тоже не всегда могут быстро замечать появление новых сообщений и быстро отвечать.

(оффтоп 2)

Во всей этой теме я совсем не специалист, в лучшем случае начинающий и притом бесперспективный ученик (на восьмом десятке трудно усваивать новые знания). Должным образом оценить математическую содержательность задачи я не способен.

Физический же смысл метрики (а,1), если не ошибаюсь, можно связать с описанием так называемого гиперболического (равноускоренного) движения в координатах Риндлера. Вот иллюстрация (рис. 8.1 из книги "Сюрпризы в теоретической физике", автор Р. Пайерлс; приношу извинения, если всё это здесь неуместно; на рисунке я заменил книжные обозначения $\zeta$ и $z$ на $\rho$ и $x^1):$



Области $\rho >0$ соответствует правая часть рисунка. В книге поясняется, что части пространства-времени, состоящей из всех положительных $\rho$ и всех $\tau$ от $-\infty$ до $+\infty,$ на плоскости $t,x^1$ соответствует сектор между $t=x^1$ и $t=-x^1.$ Отрицательные $\rho$ представлены противоположным сектором с отрицательными $x^1$ (мы этот сектор не рассматриваем, т.к. в формуле (а,1) ограничились областью $\rho >0).$ Остальная часть плоскости $t,x^1$ не достигается ни при каких реальных $\tau, \rho.$

Жирными линиями показаны линии постоянных значений $\rho.$ В координатах $t,x^1$ это мировые линии тел, совершающих равноускоренное движение с постоянным ускорением $g$ различной величины:

$$x^1=\frac{1}{g}\,\sqrt{1+g^2t^2}$$

В координатах $\tau, \rho$ это мировые линии тел, покоящихся при $\rho=1/g.$

[igigall]

Утундрий в сообщении #1635244 писал(а):

То ли никто не читает, то ли всем по барабану.

Не сочтите за наглость, но любопытно, какой смысл в том что вы делаете?
Понимаю что он есть, я его просто не вижу. Вот и поинтересовался.

[Утундрий]

igigall в сообщении #1635308 писал(а):

какой смысл в том что вы делаете?

Никакого, разумеется.

igigall в сообщении #1635308 писал(а):

Понимаю что он есть

Неправильно понимаете. Всё, что делается людьми — абсолютно бессмысленно и никому, включая их самих, не нужно.

[ozheredov]

igigall в сообщении #1635308 писал(а):

Не сочтите за наглость, но любопытно, какой смысл в том что вы делаете?
Понимаю что он есть, я его просто не вижу.

Если зажать нос и рот, через какое-то время покажется, что Вы бы отдали всё за возможность сделать один-единственный вдох, хотя кокретно этот вдох не имеет никакого смысла. Есть тип людей, для которых заниматься тем, что делает ТС - так же необходимо, как дышать. И есть тип людей, для кого наука как езда на велосипеде в цирке для дрессированной макаки (нужна только для того, чтобы получить банан). И вторые никогда не поймут первых. Разумеется, не имею в виду никого конкретного.

[schekn]

igigall в сообщении #1635308 писал(а):

Не сочтите за наглость, но любопытно, какой смысл в том что вы делаете?
Понимаю что он есть, я его просто не вижу. Вот и поинтересовался.

Я так понял, раз автор приходит в ужас от слов "физический смысл" , никакого физического смысла тут нет. Это чисто математические задачи.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1635457 писал(а):

никакого физического смысла тут нет

Докажите. Или вон из темы.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1635459 писал(а):

schekn в сообщении #1635457 писал(а):

никакого физического смысла тут нет

Докажите. Или вон из темы.

Цитата:

"Что значит "реально существует"? Укладывается в вашу башку? Соотвествует вашим вкусам и предпочтениям? Вам кажется, что нечто "реально", потому что гладиолус? Мне откровенно надоел весь этот бред про "суть", "существо" и "реальную реальность". Вы математически безграмотны? Тогда займитесь чем-то ещё. Марксизмом-ленинизмом, например."

Не хочу с вами спорить в таком тоне. Когда хочу, тогда уйду. Это не значит, что я не уважаю Вас как хорошего математика.

[Утундрий]

Самое забавное, что т.н. "физический смысл" появится уже в пятом параграфе. Как говорится, не переключайтесь.

[Dedekind]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1635464 писал(а):

Самое забавное, что т.н. "физический смысл" появится уже в пятом параграфе.

Действительно забавно: в физической теме "физический смысл" появляется всего лишь в пятом параграфе. Что-то Вы оплошали, позорите гордое звание физика-теоретика. Нужно было подождать хотя бы до пятидесятого)