Задача о раскраске и граничные точки

[Alpha AXP]

Ende
Выделено из темы «Школьник не понимает, что такое "луч", помогите пожалуйста.»

Извиняюсь за вторжение, задачка напомнила один старый спор о том можно ли раскрасить круг в 3 разных цвета, чтобы получить 3 одинаковые части разных цветов. Как оказалось- нельзя, а круг с выколотым центром- можно.
Был предложен вариант ввести наложение точек друг на друга или слои. После этого если количество слоев центральной точки кратно 3, то круг можно раскрасить в 3 разных цвета, а выкалывание центральной точки - это частный случай. Затем это было перенесено на отрезки, интервалы, прямые и лучи.
Как мне кажется было бы целесообразно дополнить геометрию слоями и развить в данном направлении.
Например тогда утверждение, что из точки выходит n лучей означало бы, что в точке не менее n слоев. Было бы понимание, что обычную прямую нельзя разбить на 2 луча. И не было бы тех вопросов, что задал ТС.

И кстати, в том споре так и не определились как правильно называть луч без начальной точки. Было предположение открытый луч. Надеюсь здесь уточнят, если у этого понятия есть название.Опять же в геометрии со слоями можно было бы сказать ""луч с кратностью начальной точки равной 1.". Конечно предварительно определив, что кратность точки - это количество слоев.

[tolstopuz]

Не могу сейчас найти источник, но где-то читал, что в классической геометрии вообще очень вольно обращаются с граничными точками и это нелегко формализовать. Взять хотя бы задачи на разрезание.

[talash]

Точка не имеет протяжённости, прямая не имеет ширины, а плоскость толщины. Поэтому, неважно куда включать границы, они не добавляют протяжённости.

Alpha AXP в сообщении #1632373 писал(а):

Как оказалось- нельзя, а круг с выколотым центром- можно.

Тут наверное имеется ввиду, что интуитивно нельзя? Но по геометрической логике, если добавить центр в любую из трёх равных частей, то их площади по-прежнему останутся равными.

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1632451 писал(а):

Точка не имеет протяжённости, прямая не имеет ширины, а плоскость толщины. Поэтому, неважно куда включать границы, они не добавляют протяжённости.

Зато добавляют вопросов, как например у ТС. Из точки на плоскости выходит 5 лучей, необходимо раскрасить их в разные цвета. В какой цвет красить общую точку?

talash в сообщении #1632451 писал(а):

Тут наверное имеется ввиду, что интуитивно нельзя? Но по геометрической логике, если добавить центр в любую из трёх равных частей, то их площади по-прежнему останутся равными.

Мы вполне не интуитивно можем задать конкретную координату на плоскости- точку, вокруг которой опишем окружность и этой конкретной точке можем присвоить цвет. Мы также можем решение задачи в приближении визуализировать на мониторе. В какой цвет тогда красить центральный пиксель? Понятно, что для большинства геометррческих задач вопросы о границах несущественны. Но при игнорировании этих моментов теряется строгость и не устанавливается связь со смежными областями, остаются задачи без ответов. А еще да, интуитивно мы будем чувствовать, что что-то здесь не так.Чего-то недостает. Такая задача вроде и не топологическая и не геометрическая тоже, и будем неловко себя чувствовать, не понимая, что делать т.к. никаких конвенций на этот счет нет.

[talash]

Neznajka_ в сообщении #1631987 писал(а):

Любая точка прямой а не принадлежит ни одной из полуплоскостей, на которые плоскость разбивается прямой а - это мне известно тоже из этого же учебника.

А можете дать ссылку на это утверждение или фотографию из учебника куда-нибудь выложить?

-- 11.03.2024, 10:08 --

Alpha AXP в сообщении #1632457 писал(а):

Зато добавляют вопросов, как например у ТС. Из точки на плоскости выходит 5 лучей, необходимо раскрасить их в разные цвета. В какой цвет красить общую точку?

Так это не геометрическая задача. В геометрии точка может всем пяти лучам принадлежать и цветов у лучей нет.

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1632467 писал(а):

Так это не геометрическая задача. В геометрии точка может всем пяти лучам принадлежать и цветов у лучей нет.

Ok, цвета были использованы для наглядности.
Пусть есть точка из которой выходят 5 лучей. Путем поворотов и параллельных переносов располагаем лучи так, чтоб они стали параллельны друг другу. Какому из лучей отдадим эту точку, а какие лучи оставим открытыми? Или быть может точка у нас размножилась на 5 точек? Тогда по какому это правилу произошло?

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1632476 писал(а):

Пусть есть точка из которой выходят 5 лучей. Путем поворотов и параллельных переносов располагаем лучи так, чтоб они стали параллельны друг другу. Какому из лучей отдадим эту точку, а какие лучи оставим открытыми? Или быть может точка у нас размножилась на 5 точек? Тогда по какому это правилу произошло?

В геометрии точки не двигаются механически, а отображаются в другие точки. В Вашем случае общая точка отобразится в пять других отдельных точек.

-- 11.03.2024, 14:32 --

Alpha AXP
Как Вы думаете, можно ли в планиметрии точку из центра окружности перенести за её пределы? Врежется ли она в окружность при попытке переноса?

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1632480 писал(а):

В геометрии точки не двигаются механически, а отображаются в другие точки. В Вашем случае общая точка отобразится в пять других отдельных точек.

talash в сообщении #1632480 писал(а):

Как Вы думаете, можно ли в планиметрии точку из центра окружности перенести за её пределы? Врежется ли она в окружность при попытке переноса?

Я считаю, что точки не двигаются в геометрии, а двигаются их свойства. По сути геометрия исполтзует точки двух свойств- цветов и основана на операции раскрашивании точек и на переносе цвета точек. Возьмем прямую на плоскости- это значит, что мы "раскрасили' или "мысленно выделили на плоскости некоторые точки, не руками же мы ее взяли. В геометрии всего 2 "цвета": цвет чистой плоскости и цвет точек, которые мы "взяли-раскрасили" и все преобразования -это перенос окрашенных точек из одного места в другое или раскрашивание точек.
Соответственно и преобразования можно разделить на сохраняющие количество краски и не сохраняющие. Истинно геометрические преобразования сохраняют количество краски.

В случае 5-ти лучей, исходящих из одной точки краска была потрачена только на 1 точку, но после отображения получилось, что окрашено 5 точек. Значит такое отображение- не сохраняет количество краски. Либо необходимо вводить слои у точек или объемы в которые краски может поместиться в одну точку достаточно, чтобы раскрасить еще 4.

В обшем случае "цветов" в геометрии может быть не 2, а сколь угодно много и точки могут иметь сколь угодное количество неограниченных "объемов" для их "свойств-цветов". По сути мы неявно пользуемся этим, например рисуя прямую a и прямую b мы используем 2 цвета для прямых и цвет плоскости. А когда эти прямые пересекаются в точке, то мы считаем, что точка содержит сразу 2 цвета, т.к. после отображения в параллельные прямые каждая точка прямой a раскрашена в цвет а, а каждая точка прямой b в цвет b. Ровно также как в случае с 5-ю лучами. Точка имеет 5 слоев краски и при отображении каждый слой уходит к своему лучу. Но если у точки только 1 слой краски, то эту краску можно перенести-отдать только одному лучу, остальные лучи окажутся открытыми.

[talash]

Alpha AXP в сообщении #1632489 писал(а):

Соответственно и преобразования можно разделить на сохраняющие количество краски и не сохраняющие. Истинно геометрические преобразования сохраняют количество краски.

Давайте от чего-то отталкиваться, а не выдумывать свои правила. Можете сослаться откуда Вы черпаете знания про "истинно геометрические преобразования"?
Вот определение

Цитата:

Геометрические преобразования, взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства на себя. Обычно рассматривают такие совокупности Г. п., что каждую конечную последовательность преобразований совокупности можно заменить одним преобразованием этой совокупности, а преобразование, обратное любому из рассматриваемых, также принадлежит данной совокупности. Такие совокупности Г. п. образуют т. н. группу преобразований. Примерами Г. п., образующих группу преобразований, могут служить движения плоскости (или пространства), аффинные преобразования, проективные преобразования.
link

Если речь про взаимно однозначное отображение плоскости, то Вы не сможете разделить лучи с его помощью.

[Neznajka_]

talash в сообщении #1632467 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1631987 писал(а):

Любая точка прямой а не принадлежит ни одной из полуплоскостей, на которые плоскость разбивается прямой а - это мне известно тоже из этого же учебника.

А можете дать ссылку на это утверждение или фотографию из учебника куда-нибудь выложить?

https://postimg.cc/gnn3RrdF

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1632519 писал(а):

Если речь про взаимно однозначное отображение плоскости, то Вы не сможете разделить лучи с его помощью.

Речь о преобразованиях фигур и их положения в пространстве. Пространство не преобразуется. Оно либо раскрашивается извне, либо в нем происходит перераспределение уже присутствующей краски. На этом и основано преобразование любых фигур. Инвариантом при преобразовании одномерных протяженностей в евкдидовой геометрии является в первую очередь плотность распределения краски, а уже потом длина или площадь.

При проективных преобразованиях меняется плотность распределения краски.

Ну в общем все типы геометрии похоже можно классифицировать по поведению плотности распределения краски.

1. Преобразования не меняют плотность распределения краски.-евклидова геометрия
2. Преобразования меняют плотность одинаково во всех точках - афинные
3. Преобразования меняют плотность распределения краски неравномерно- проективная геометрия

Инвариантом ао всех случаях является количество влитой в пространство краски.

Выражение: "Рассмотрим прямую a, лежащую в плоскости"- не что иное как раскрашивание плоскости- мы влили в плоскость краски на целую прямую и раскрасили ей точки прямой. Все преобразования происходят с краской из нашей головы, а не с пространством- плоскостью.

talash в сообщении #1632519 писал(а):

Давайте от чего-то отталкиваться, а не выдумывать свои правила. Можете сослаться откуда Вы черпаете знания про "истинно геометрические преобразования"?

Вы предлагаете мне отказаться от источника из которого я черпаю знания и затем сослаться на него.
Логичнее было бы наоборот.

[talash]

Neznajka_ в сообщении #1632520 писал(а):

https://postimg.cc/gnn3RrdF

Нагуглил текст из вашего учебника, link. Действительно, похоже там неявно предполагается, что луч открытый. При этом луч обозначается подобным образом $[AB)$, где закрытая скобка не значит, что точка $A$ принадлежит лучу, а значит, что точка $A$ фиксированная (про это нашёл здесь). Что ещё больше усиливает путаницу.

Интересная находка...

-- 11.03.2024, 23:02 --

Alpha AXP, отстаивать свою версию геометрии лучше в разделе "Дискуссионные темы".

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1632538 писал(а):

отстаивать свою версию геометрии лучше в разделе "Дискуссионные темы".

(Оффтоп)

Полностью согласен. Не думал, что так увлекусь.

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1632531 писал(а):

меняют плотность распределения краски

С теорией Вы, наверное, знакомы. Пусть при преобразовании плоскости точка с координатами $x,y$ ("старая") переходит в точку с координатами $\tilde x, \tilde y$ ("новую"). Тогда плотность краски в "новой" точке будет больше в $|J|$ раз, где
$J=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial \tilde x}&\frac{\partial x}{\partial \tilde y}\\\frac{\partial y}{\partial \tilde x}&\frac{\partial y}{\partial \tilde y}\end{vmatrix}$
— якобиан преобразования. Например, преобразованию $\tilde x=5x,\;\tilde y=y$ соответствует
$J=\begin{vmatrix}\frac 1 5&0\\0&1\end{vmatrix}=\frac 1 5$,
т.е. плотность краски уменьшится в 5 раз.

Теперь утверждение

Alpha AXP в сообщении #1632531 писал(а):

2. Преобразования меняют плотность одинаково во всех точках - афинные

можно переформулировать так: если якобиан преобразования — константа, то преобразование аффинное.

Увы, это неверно. Например:
$\tilde x=x,\;\tilde y=y+x^2$ (обратные формулы $x=\tilde x,\;y=\tilde y-\tilde x^2$)
Якобиан всюду равен $1$ (т.е., в Вашей терминологии, плотность краски не меняется), но преобразование не аффинное. Изобразить его можно так:

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1632545 писал(а):

Увы, это неверно.

Судя по картинке, если рассматривать приведенную Вами решетку, то плотность вертикальных линий не поменялась после преобразования, а плотность горизонтальных- поменялась, причем неравномерно. Но вы утверждаете, что она всюду одинакова.

Рассмотрим круг с его границей. Деформируем его в эллипс такой же площади. При этом граница станет длинее и мы должны либо поменять ее плотность краски, либо докрасить извне, т.е. такое преобразование тоже не сохраняет плотность краски.
У Вас примерно то же самое по-моему.