Математические вопросы к статье о тензорах Киллинга

[UmnyjDurak]

Добрый день.
Нашёл статью о векторах и тензорах Киллинга ("Hidden Symmetries of Dynamics in Classical and Quantum Physics" by Marco Cariglia; доступна на arXiv) и пытаюсь разобраться в ней. Возник вопрос, подозреваю, что возникнут ещё и другие, поэтому решил создать одну тему и если что, задавать их по мере возникновения в ней.

Первый вопрос состоит в следующем (в статье переход от (18) к (19)):

Пусть $(M, g)$ многообразие с метрикой, $q^{\mu}$ координаты на $M$, $T^{*}(M)$ кокасательное пространство с локальными координатами $q^{\mu}, p_{\mu}$. Векторное поле Киллинга на $M$, это по определению такое векторное поле $K^{\mu}\partial_{q^{\mu}}$, для которого выполнено $\mathcal{L}_{K}g = 0$, что можно переписать как $\nabla_{\mu}K_{\nu} + \nabla_{\nu}K_{\mu} = 0$. Утверждается, что если функция Гамильтона $H$ имеет вид $H = \frac{1}{2m}g^{{\mu}{\nu}}p_{\mu}p_{\nu}$, то функция $С = K_{\mu}p_{\mu}$ является интегралом движения системы: скобка Пуассона ${\left\lbrace} C, H{\right\rbrace}$ равна нулю, или же $X_{C}(H) = 0$, где $X_{C} = \frac{{\partial}C}{{\partial}q^{\mu}}\frac{\partial}{p_{\mu}} - \frac{{\partial}C}{{\partial}p_{\mu}}\frac{\partial}{q^{\mu}}$. Подставив $H$ в $X_{C}$, получаем:
$X_{C}(H) = \frac{1}{2m}\partial_{q^{\rho}}(g^{{\mu}{\nu}})K^{\rho}p_{\mu}p_{\nu} - \frac{1}{m}g^{{\mu}{\nu}}p_{\mu}p_{\rho}\frac{{\partial}K^{\rho}}{{\partial}q^{\nu}}$.
Это всё у меня тоже получилось, но дальше в статье пишут, что это вот дело равно следующему:
$\frac{1}{2m}\partial_{q^{\rho}}(g^{{\mu}{\nu}})K^{\rho}p_{\mu}p_{\nu} - \frac{1}{m}g^{{\mu}{\nu}}p_{\mu}p_{\rho}\frac{{\partial}K^{\rho}}{{\partial}q^{\nu}} = -{\frac{1}{2m}}{\nabla}^{{\mu}}(K^{\rho})p_{\mu}p_{\rho}$
Вот тут я туплю и никак не могу к этому равенству прийти. Если подскажите, буду крайне признателен.

[svv]

$\nabla_\rho g^{\mu\nu} = \partial_{\rho}g^{\mu\nu}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\rho} g^{\sigma\nu} + \Gamma^{\nu}_{\sigma\rho} g^{\mu\sigma} = 0$
$\nabla_\nu K^\rho = \partial_{\nu}K^\rho + \Gamma^\rho_{\sigma\nu} K^\sigma$
Из этих формул выражаем слагаемые с $\partial$, подставляем в левую часть Вашего последнего равенства. Получаем ($m$ не пишу):
$-\frac 1 2 \Gamma^{\mu}_{\sigma\rho} g^{\sigma\nu} K^\rho p_\mu p_\nu -\frac 1 2 \Gamma^{\nu}_{\sigma\rho} g^{\mu\sigma} K^\rho p_\mu p_\nu -g^{\mu\nu} p_\mu p_\rho \nabla_\nu K^\rho + g^{\mu\nu} p_\mu p_\rho \Gamma^\rho_{\sigma\nu} K^\sigma$
Первое слагаемое равно второму, заменим его на второе. В последнем слагаемом делаем циклическую замену индексов $\sigma\to\rho\to\nu\to\sigma$. Получим:
$-\Gamma^{\nu}_{\sigma\rho} g^{\mu\sigma} K^\rho p_\mu p_\nu -g^{\mu\nu} p_\mu p_\rho \nabla_\nu K^\rho + g^{\mu\sigma} p_\mu p_\nu \Gamma^\nu_{\rho\sigma} K^\rho=$
$=-\nabla^\mu (K^\rho)p_\mu p_\rho + g^{\mu\sigma} K^\rho p_\mu p_\nu (\Gamma^\nu_{\rho\sigma} -\Gamma^{\nu}_{\sigma\rho})$
У нас не произвольная связность, а связность Леви-Чивиты, поэтому символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам и их разность равна $0$. Остаётся
$-(\nabla^\mu K^\rho)p_\mu p_\rho$
В статье опечатка, лишний множитель $\frac 1 2$. Но это не влияет на результат. Поскольку $K$ — векторное поле Киллинга, тензор $\nabla^\mu K^\rho$ антисимметричен, и его свёртка с симметричным $p_\mu p_\rho$ даёт нуль.

[UmnyjDurak]

Ага, теперь понятно. Спасибо!