Определение чётности выражения

[yildizzz]

Здравствуйте!
Изучаю тему "Перестановки" и совсем не получается определять чётность/нечётность выражений.
Например, получилось такое выражение:
$\frac{n(n+1)}{2}.$
Здесь $n$ - натуральное число или ноль. Нужно понять, когда выражение чётно, а когда нечётно.

В ответе указано, что выражение чётно при $n = 4k$ и $n = 4k + 3$.

Как я пытаюсь доказать этот факт.

Если $\frac{n+1}{2}$ чётное, то $\frac{n+1}{2} = 2k$; $n+1 = 4k$, $n = 4k - 1$. В ответе $4k + 3$ наверное потому, что $k$ считается от нуля? И мы прибавляем к $4k - 1$ число $4$?
Теперь нужно изучить второй сомножитель. Так как множитель $\frac{1}{2}$ влияет на чётность, то его нужно снова включить в рассмотрение? То есть проверять, когда $\frac{n}{2} = 2k$, откуда $n = 4k$?

Есть ощущение, что мои рассуждения какие-то корявые. Нет ощущения, что, не видя ответ, получилось бы получить правильные значения $n$. Может здесь есть более удобный метод?

[Dedekind]

yildizzz
Выглядит нормально, если не считать, что не слишком уверенно. Чтобы не было вопроса, включать или не включать $\frac{1}{2}$, можно рассуждать так. В числителе, по понятным причинам, может быть только один четный множитель. Тогда все выражение будет четным, если этот множитель в числителе после деления на 2 также дает четное число. И дальше проверяем по-очереди $\frac{n+1}{2}$ и $\frac{n}{2}$, как Вы и сделали.

[yildizzz]

Dedekind, с Вашим дополнением действительно рассуждение выглядит логичнее. Спасибо!