Задача 9 - го класса :)

[paranoidandroid]

Два одинаковых, деревянных, бруска массой m, лежат на горизонтальной поверхности (Расстояние между брусками - L). Между ними, помещена сжатая пружина жесткостью k. (Пружина подвязана ниткой и система неподвижна). В какой-то момент нить оборвалась и бруски начали двигаться с ускорением a. Найдите длину пружины если $a=0.6 \frac{\text{м}}{{\text{с}}^2}$ , $k=30 \frac{\text{н}}{\text{м}}$ , $L=0.06 \text{м}$.




Допустим, длина пружины равна $L_{0}$. Тогда $L_{0}=L+2x$ .

Закон сохранения энергии $\frac{k(2x)^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{2}$ .

Кинематика $v(t)=v_{0}+at=at$ и $x=v_{0}t+\frac{at^2}{2}=\frac{at^2}{2}$

И получим $kx=ma \to x=\frac{ma}{k}=\frac{1}{500} \text{м} =\frac{1}{5} \text{см} \to L_{0}=L+2x=6+2 \cdot \frac{1}{5}=\frac{32}{5}\text{см}$.

Вопрос: Где я ошибаюсь?

[warlock66613]

А зачем через энергию-то решать? Решайте через силу $F=k(L_0-L)$.

[paranoidandroid]

warlock66613

$F=k(L_{0}-L)=ma \to L_{0}=\frac{ma+kL}{k}=0.062 \text{м}$ Вот так ?

[warlock66613]

Так.

[paranoidandroid]

warlock66613

Благодарю. А можете сказать, что я делаю неправильно в своем решении?

[Sender]

paranoidandroid в сообщении #1630573 писал(а):

Вопрос: Где я ошибаюсь?

Вот тут.

paranoidandroid в сообщении #1630573 писал(а):

И получим $kx=ma \dots$.

[warlock66613]

Не могу, потому что не могу понять что вы делаете в своём решении. Вот $x$ например у вас меняется в зависимости от времени или нет? Если да, то $L_{0}=L+2x$ неверно. То что вы написали в строке "кинематика" верно только для равноускоренного движения, у нас не такое. Откуда получилось $kx=ma$ совершенно непонятно. Если это просто $F=ma$, то зачем была нужна "кинематика" и закон сохранения энергии? Но это всё равно неверно, потому что даже если вы мысленно разделили пружину на две половинки и рассматриваете одну половину, то надо учесть, что жёсткость такой половины в два раза больше жёсткости целой пружины.

[paranoidandroid]

warlock66613

Да, $x=x(t)$ является функцией времени. А если написать так $L_{0}(t)=L+2x(t)$?

и $\frac{k(2x(t))^2}{2}=\frac{m{v(t)}^2}{2}+\frac{m{v(t)}^2}{2} \to \frac{d}{dt}(\frac{k(2x(t))^2}{2})=\frac{d}{dt}(\frac{m{v(t)}^2}{2}+\frac{m{v(t)}^2}{2}) \to 4k \frac{dx}{dt} = m \frac{dv}{dt}+m \frac{dv}{dt} \to m a(t) =2k v(t) $

Насколько это правильно?

[warlock66613]

Совершенно неправильно. Закон сохранения энергии выглядит не так. Вы приравняли кинетическую энергию в некоторый момент времени к потенциальной энергии в тот же момент — это неверно. Должно быть так:

$$\frac {k(2x(t))^2} 2 + 2\frac {mv(t)^2} 2 = \frac {k(2x(0))^2} 2$$

. Когда возьмёте производную правая часть обратится в ноль, так как она константа.

[paranoidandroid]

warlock66613

$\frac {k(2x(t))^2} 2 + 2\frac {mv(t)^2} 2 = \frac {k(2x(0))^2} 2$

$\frac{d}{dt}(\frac {k(2x(t))^2} 2 + 2\frac {mv(t)^2}2)=\frac{d}{dt}( \frac {k(2x(0))^2} 2)$

$kv(t)+ma(t)=0$

$kv(t)+m \frac{dv(t)}{dt}=0$

$\int{\frac{dv(t)}{v(t)}}=- \frac{k}{m} \int {dt}$

$\ln(v(t))=- \frac{k}{m}t +C$

$v(t)=e^{- \frac{k}{m}t \cdot C}$

$a(t)=\frac{d}{dt}e^{- \frac{k}{m}t \cdot C}$ Где $a(0)=0.6 \frac{\text{м}}{{\text{с}}^2}$.

Но не могу связать с длинной деформации пружины..

[warlock66613]

Сплошные ошибки. Например,
$\frac d {dt} x(t)^2 = 2x(t) \frac d {dt} x(t) = 2x(t)v(t)$.
И главное я не понимаю в чём идея, в чём план решения.

[paranoidandroid]

Просто , я хочу решить эту задачу каким-то другим способом, но не как не получается

[warlock66613]

Ну, если правильно продифференцировать, то получится

$$4kx(t)v(t) +2mv(t)a(t)=0.$$

Сокращаем на $v(t)$, получаем

$$a(t)=-2\frac k m x(t)$$

Берём $t=0$ и модуль (нам неважно куда направлено ускорение):

$$a = \frac k m (L_0 - L).$$

Дальше как обычно.

-- 23.02.2024, 11:16 --

Единственное, что плохо — что мы фактически сократили на $0$, ведь $v(0) = 0$. В принципе можно это обосновать через непрерывность, через предел.

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

warlock66613. Большое спасибо !