Несобственный интеграл от произведения функций

[Gspace]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Прошу помочь мне разобраться с задачей, которая поставила меня в тупик. Требуется найти несобственный интеграл. Я попытался его найти.
\int\limits_{0}^{\infty} \exp^ {-5t} \cdot 1(t) dt = \begin{pmatrix} u = 1(t) & du = \delta (t) \\ dv = \exp^{-5t} & v=-\frac{ 1 }{ 5 } \exp^{-5t} \end{pmatrix} = 1(t) \cdot \exp^{-5t} 0.2 \left.{}\right|_{0 }^{ \infty } - \int\limits_{0}^{\infty} - 0.2 \delta (t) \cdot\exp^{-5t} = 1(0) \cdot 0.2 + 0.2

В различной литературе пишут, что функция Хевисайда - здесь изображена как 1(t) - либо не определена в 0, либо может быть равна как 0, так и 1, а в некоторых случаях 0.5. Очевидно, что при нахождении несобственного интеграла это играет большую роль. Подскажите, пожалуйста, как правильно определиться с выбором значения функции в 0? От чего это зависит? И вообще, можно ли рассуждать так, как это делаю я?

[warlock66613]

Gspace в сообщении #1629730 писал(а):

Очевидно, что при нахождении несобственного интеграла это играет большую роль.

Никакой роли это не играет. При любом определении вашего интеграла таком что он имеет смысл, результат интегрирования не может зависеть от изменения значения функции в одной-единственной точке. (Интуитивно: интеграл — это площадь под кривой, сильно ли меняется площадь если функцию сделать больше на $1$ на бесконечно коротком участке?)

Gspace в сообщении #1629730 писал(а):

можно ли рассуждать так, как это делаю я?

Нет, нельзя так безалаберно относиться к обобщённым функциям таким как $\delta$.

Просто замените в исходном интеграле функцию Хевисайда на единицу — ведь именно единице она равна на интересующем вас участке от $0$ до $\infty$.

[Gspace]

warlock66613 в сообщении #1629736 писал(а):

Gspace в сообщении #1629730 писал(а):

Очевидно, что при нахождении несобственного интеграла это играет большую роль.

Никакой роли это не играет. При любом определении вашего интеграла таком что он имеет смысл, результат интегрирования не может зависеть от изменения значения функции в одной-единственной точке. (Интуитивно: интеграл — это площадь под кривой, сильно ли меняется площадь если функцию сделать больше на $1$ на бесконечно коротком участке?)

Gspace в сообщении #1629730 писал(а):

можно ли рассуждать так, как это делаю я?

Нет, нельзя так безалаберно относиться к обобщённым функциям таким как $\delta$.

Просто замените в исходном интеграле функцию Хевисайда на единицу — ведь именно единице она равна на интересующем вас участке от $0$ до $\inf$.

Подскажите, пожалуйста, для чего тогда в этом интеграле вообще может использоваться эта функция? Почему её умышленно оставляют в записи, если, как вы говорите, она на всем промежутке равна 1. Этот интеграл взят из учебника Воронова по теории автоматического управления
http://forumimage.ru/show/112035714

[warlock66613]

Надо смотреть откуда это выражение получилось — где-то в промежуточных вычислениях функция была важна, а вот когда всё собрали в интеграл её можно из-под интеграла убрать.

[Gspace]

Скажите, а если изменить пределы интегрирования от минус бесконечности до плюс бесконечности, но функцию Хевисайда оставить под интегралом, решение интеграла не должно же поменяться?

[warlock66613]

Конечно. И решаться тогда будет так:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathbf 1(t) dt = \int\limits_{-\infty}^0 f(t) \mathbf 1(t) dt + \int\limits_0^{\infty} f(t) \mathbf 1(t) dt = \int\limits_{-\infty}^0 f(t) 0 dt + \int\limits_0^{\infty} f(t) 1 dt = \int\limits_0^{\infty} f(t) dt$$

[Gspace]

warlock66613

Тогда применимо к моей задаче можно ли решить так?
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp^ {-5t} \cdot 1(t) dt = \begin{pmatrix} u = 1(t) & du = \delta (t) \\ dv = \exp^{-5t} & v=-\frac{ 1 }{ 5 } \exp^{-5t} \end{pmatrix} = 1(t) \cdot \exp^{-5t} 0.2 \left.{}\right|_{-\infty }^{ \infty } - \int\limits_{-\infty}^{\infty} - 0.2 \delta (t) \cdot\exp^{-5t} = 1(-\infty) \cdot 0.2 + 0.2 = 0.2

[warlock66613]

Gspace в сообщении #1629746 писал(а):

Тогда применимо к моей задаче можно ли решить так?

Да, можно, хотя чтобы строго это обосновать нужно понимать что такое обобщённые функции. А когда знаешь, то немножко глаз дёргается, видя такое беззастенчивое интегрирование по частям. Но можно, да.

[Gspace]

warlock66613

Спасибо вам огромное, что уделили мне время. Я постараюсь сформулировать свой последний вопрос, если вам несложно и остались силы и терпение, подскажите мне, пожалуйста.
Если я все правильно понял, то можно, опираясь на материал выше, прийти к заключению, что \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) 1(t) \exp^{-qt} dt = \int\limits_{0}^{\infty} f(t) \exp^{-qt} dt , где f(t) - произвольная функция, q - определенное число, заранее неизвестное.
Тогда решение для первого интеграла будет следующее:
\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) 1(t) \exp^ {-qt} \cdot dt = \begin{pmatrix} u = f(t)1(t) & du = \dot{f(t)}1(t)+f(t)\delta (t) \\ dv = \exp^{-qt} & v=-\frac{ 1 }{ q } \exp^{-qt} \end{pmatrix} = - $\frac{1}{q}$ f(t) 1(t) \cdot \exp^{-qt} \left.{}\right|_{-\infty }^{ \infty } + $\frac{1}{q}$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} $\dot{f(t)}$ 1(t)+f(t)\delta (t) \exp^ {-qt} dt = $\frac{1}{q}$ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left\langle \dot{f(t)} 1(t)+f(t)\delta (t) \right\rangle \exp^ {-qt} dt
Решение для второго интеграла:
\int\limits_{0}^{\infty} f(t) \exp^ {-qt} dt = \begin{pmatrix} u = f(t) & du = \dot{f(t)} \\ dv = \exp^{-qt} & v=-\frac{ 1 }{ q } \exp^{-qt} \end{pmatrix} = - $\frac{1}{q}$ f(t) \cdot \exp^{-qt} \left.{}\right|_{0 }^{ \infty } + $\frac{1}{q}$ \int\limits_{0}^{\infty} $\dot{f(t)}$ \exp^ {-qt} dt = $\frac{1}{q}$ f(0) + $\frac{1}{q}$ \int\limits_{0}^{\infty} $\dot{f(t)}$ \exp^ {-qt} dt
И как мы видим, результаты, в конечном итоге, идентичны.

[warlock66613]

Верно.

[Gspace]

warlock66613
Тогда можно заметить следующую закономерность.
Обозначим для первого интеграла u = f(t)1(t), dv = \exp^{-qt} dt, из полученного решения видно, что \int\limits_{-\infty}^{\infty} u $\cdot$ dv = $\frac{1}{q}$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} $\dot{u}$ $\cdot$ dv

Однако для второго интеграла такую зависимость не получить: u = f(t), dv = \exp^{-qt} dt, в итоге имеем \int\limits_{0}^{\infty} u $\cdot$ dv = $\frac{1}{q}$ \int\limits_{0}^{\infty} $\dot{u}$ $\cdot$ dv + $\frac{1}{q}$ u(0)
Все ли правильно я сделал? Почему же зависимость для первого интеграла не повторяется во втором, хотя они идентичны?

[warlock66613]

Потому что зависимость эта не носит общий характер и выполняется в общем случайно, только для некоторых $u$ и $v$.

[makxsiq]

Очень интересно, но я правильно понимаю, что функция Дирака ($\delta(t)$ из стартового сообщения) это ноль ?

[Gspace]

makxsiq
Почему вы решили, что это ноль? Функция Дирака равна бесконечности при t = 0

[makxsiq]

Gspace в сообщении #1629929 писал(а):

makxsiq
Почему вы решили, что это ноль? Функция Дирака равна бесконечности при t = 0

Да, верно, правильнее будет сказать, что это плотность нуля.