Убегающие экспоненты

[EUgeneUS]

ИСН в сообщении #1629312 писал(а):

Осталось выяснить пару мелких деталей. Сколько у каждой кривой касающихся кривых? Очевидно, сначала ни одной, потом при $a_{min}$ - одна, а потом - две, так? Так, но есть нюанс. При относительно небольших $a$ (скажем, 100) - обе кривых, касающихся данной, будут сверху от неё. А когда мы дойдём до таких кривых, которые сами других касались сверху, то у них-то одна будет касаться снизу! Когда и как происходит перескок между этими режимами?

В координатах $x = \ln b; y = \ln a$ можно посмотреть предел $y_0 = \lim\limits_{x \to y}^{} y$
И будет он
$y_0 = \lim\limits_{x \to y}^{} y = e^2$

$e^2 = \ln a_0$
$a_0 = e^{(e^2)} \approx 1618$
Вблизи таких значений $a$, $b$ будет близко к $a$.

[EUgeneUS]

UPD: в координатах $x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}; y = \ln a$

Вот вблизи $x = 1$

Видим, что для $x<1$ функция продолжается без инфарктов и параличей.
Но $x<1$ означает, $ \frac{\ln b}{\ln a} < 1$, а значит, $a >b$ - заданное условие перевернулось.

-- 12.02.2024, 21:35 --

Аналогично, в координатах $x = \ln b; y = \ln a$

Вот график при относительно малых $x,y$

Но этот график должен быть ещё снабжен биcсектрисой $x=y$, которая отражает граничное условие $x>y$, которое следует из $b >a$.

Кстати, мне вот интересно, как можно нарисовать наглядно область, где возможны решения, в координатах $x = f(b), y = f(a)$, где $f()$ - монотонно возрастающая функция. Причем так, чтобы было видно поведение на бесконечности - а там, насколько понимаю, будет приближение к асимптоте $x=y$ сверху и снизу.

[ИСН]

Для себя я это формулировал без условия $a<b$. Оно не нужно. Все формулы работают по обе стороны.
Ну что, задача решена. Я не знаю, какие ещё естественные вопросы тут можно задать.
Но 1618-то, а? Каково? Четырёхэтажная экспонента с таким основанием - и на ней происходит что-то, чего раньше не происходило!