2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Убегающие экспоненты
Сообщение10.02.2024, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
Возьмём две константы $b>a>1$.

Очевидно, графики $a^x$ и $b^x$ пересекаются всегда в одной точке (в нуле).

Графики $a^{a^x}$ и $b^{b^x}$ пересекаются тоже всегда в одной точке (теперь не в нуле, но это нам неважно).

Сколько раз пересекаются графики $a^{a^{a^x}}$ и $b^{b^{b^x}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение10.02.2024, 21:01 


29/01/24
20
Почему нельзя тупо решить? $a^p = b^q \Leftrightarrow p\ln a = q \ln b$. В нашем случае ${a^{a^x}} \ln a = {b^{b^x}}\ln b \Rightarrow \dfrac{ {b^{\large b^x}} }{ {a^{\large a^x}}} = \dfrac{\ln a}{\ln b} < 1$, однако левая часть никогда не меньше 1, т.к. это монотонно возрастающая функция на всей прямой, которая в минус бесконечности равна 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение10.02.2024, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
Откуда инфа, что левая часть - это монотонно возрастающая функция на всей прямой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение10.02.2024, 21:24 


29/01/24
20
Да, признаю, ерунда вышла. Надо точнее проверять наличие корней. Конечно же, монотонность будет только в области $x > \dfrac{2(\ln \ln a - \ln \ln b)}{\ln b/a}$, а левее - непонятно.
Впрочем, при $a^a < b$ их точно не будет, т.к. обе (изначальные) функции будут находиться в разных полосах ($y = a, y = a^a$ и $y = b, y=b^b$).

Надо по сути решить уравнение $\dfrac{ {b^{\large b^x}} }{ {a^{\large a^x}}} = \dfrac{\ln a}{\ln b} = c$. Логарифмируем: $b^x \ln b - a^x\ln a = \ln \ln a - \ln \ln b$. Найдем минимум функции $b^x\ln b - a^x\ln a$. Он достигается в точке $x = \dfrac{2(\ln \ln b - \ln \ln a)}{\ln a - \ln b}$, а само значение будет равно
$ b^{\tfrac{2(\ln\ln b - \ln \ln a)}{\ln a - \ln b} } \ln  b - a^{ \tfrac{2(\ln\ln b - \ln \ln a)}{\ln a - \ln b} }\ln a$, его сравнить с $\ln\ln a - \ln\ln b$. И вот кажется, что все-таки правая часть больше (менее отрицательна), но надо бы доказать. Если и есть какой-то более экономный путь (скорее всего есть), то пока его не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
Пусть $x=x_0$ - значение, при котором $\frac{a^{a^x}}{b^{b^x}}=1$. Можно заметить, что при $x=2x_0$ выражение $\frac{a^{a^x}}{b^{b^x}}$ достигает максимума.

Теперь фактически нужно показать, что при $b>a>1$:
$$\frac{a^{a^{2x_0}}}{b^{b^{2x_0}}}<\frac{\ln b}{\ln a}$$
или $$a^{a^{2x_0}}\ln a<b^{b^{2x_0}}\ln b$$
А поскольку у нас $a^{a^{x_0}}=b^{b^{x_0}}$ делим левую часть этого последнего неравенства на $a^{a^{x_0}}$, правую часть неравенства на $b^{b^{x_0}}$ до тех пор, пока не получим 1, т.е. получаем:
$$\ln a<\ln b $$
Таким образом, точек пересечения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 12:36 
Аватара пользователя


11/12/16
13040
уездный город Н
Введем обозначение: $y = a^х$

Тогда: $b^x = y^{\log_a b}$

Подставим:
$$a^{a^y} = b^{b^{y^{\log_a b}}}$$
Прологарифмируем два раза по основанию $a$:

$$y = y^{\log_a b} \log_a b + \log_a \log_a b$$
$$y - y^{\log_a b} \log_a b = \log_a \log_a b$$

Справа - положительное число.
Слева - функция от $y$, которая при $0 < y < 1$ (не обязательно на всём этом интервале) может принимать положительные значения. При $\log_a b \to \infty$ максимум этой функции стремится к единице.

Таким образом, при $ \log_a \log_a b \ge 1$ - решений нет.
Но могут ли быть решения при $\log_a \log_a b < 1$? Да, могут.
Покажем это:
$\log_a b > 1$, так как $b>a$
Пусть $\log_a b = 3$
Тогда $\max (y - 3 y^3) = \frac{2}{9}$, и $\log_a 3 < \frac{2}{9}$
Итого: например, при $a> 3^{9/2}$ и $b = a^3$ будет два корня.

-- 11.02.2024, 13:06 --

Вот, например, два корня для $a=3^5 = 343$, $b=a^3 = 40353607$

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 13:29 


29/01/24
20
Интересно получается. Я ошибался - думал, что уравнение $b^x \ln b - a^x\ln a = \ln \ln a - \ln \ln b$ не имеет корней, т.к. минимум левой части (равный $ b^{\tfrac{2(\ln\ln b - \ln \ln a)}{\ln a - \ln b} } \ln  b - a^{ \tfrac{2(\ln\ln b - \ln \ln a)}{\ln a - \ln b} }\ln a$) будет всегда больше, чем $\ln \ln a - \ln \ln b$ (и пытался это доказать). Но это неправда, данный минимум вполне может быть при некоторых значениях $1<a<b$ меньше, чем $\ln\ln a - \ln \ln b$, что в силу непрерывности действительно даст два корня (гладкая функция, имеющая один экстремум-минимум, который лежит ниже некоторой горизонтальной прямой, пересекает эту горизонтальную прямую в двух точках).

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
EUgeneUS, лучше бы Вы сказали "Пусть $\log_a b = 2$", там красивее выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 13:33 
Аватара пользователя


11/12/16
13040
уездный город Н
UPD, и понятно, что раз есть области в $a \times b$, где есть два действительных корня, и где нет ни одного действительного корня, то на границе областей будет один действительный корень.

Вот, например, при $a = 2^8 = 256; b = a^2 = 65536$ имеется один действительный корень.

-- 11.02.2024, 13:34 --

ИСН в сообщении #1629115 писал(а):
EUgeneUS, лучше бы Вы сказали "Пусть $\log_a b = 2$", там красивее выходит.


Этот вариант рассмотрел, когда искал пример для случая с одним действительным корнем, см. выше. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
Отлично! Теперь осталось как-то качественно охарактеризовать ту область в $a\times b$, где между кривыми два пересечения (а на границе которой, значит - одно касание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 15:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13040
уездный город Н
Из $\log_a \log_a b < 1$, следует, что при $b \ge a^a$ корней нет.

Но при более точном описании областей столкнулся с трудностями.

Введем параметр $A = \log_a b$
Так как $b > a$, $A \in (1, \infty)$

Рассмотрим функцию $f(y)= y - Ay^A$
и введем функцию $g(A) := \max_{y>0}{f(y)}$

Тогда условие на единственность корня будет:
$g(A) = \log_a A$

$g(A) = A^{\frac{-2}{A-1}} (1-A^{-1})$, если нигде не ошибся.

Тогда условие на единственность корня:

$A^{\frac{-2}{A-1}} (1-A^{-1}) = \log_a A$

Как отсюда перейти к областям в $a \times b$, как-то не соображу сходу :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
Сверим часы. Ваше $A$ у меня называлось $c$, а выражение было:
$$\ln a =\dfrac{\ln c}{c-1}\cdot c^{\frac{c+1}{c-1}}$$
Поскольку $b=a^c$, то это нам даёт граничную кривую, только не в явном, а в параметрическом выражении. Ну и что. Исследовать её можно и так.

-- менее минуты назад --

По-дурацки как-то теперь выглядят оба обозначения. Если уж этот параметр делать нашей главной переменной, может, назовём его не $A$ и не $c$, а $\xi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение11.02.2024, 16:02 
Аватара пользователя


11/12/16
13040
уездный город Н
ИСН в сообщении #1629135 писал(а):
Сверим часы. Ваше $A$ у меня называлось $c$, а выражение было:
$$\ln a =\dfrac{\ln c}{c-1}\cdot c^{\frac{c+1}{c-1}}$$


Да, мой вариант сводится к этому.

ИСН в сообщении #1629135 писал(а):
Если уж этот параметр делать нашей главной переменной, может, назовём его не $A$ и не $c$, а $\xi$?


Это, как Вам удобнее.

-- 11.02.2024, 16:07 --

ИСН в сообщении #1629135 писал(а):
Поскольку $b=a^c$, то это нам даёт граничную кривую, только не в явном, а в параметрическом выражении. Ну и что. Исследовать её можно и так.


Так-то оно так. Но что-то не могу прийти к какому-то более-менее наглядному варианту.
Кстати, возможно, будет удобнее исследовать не на $a \times b$, а на $\ln a \times \ln b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение12.02.2024, 16:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13040
уездный город Н
ИСН в сообщении #1629135 писал(а):
Исследовать её можно и так.


Вручную исследовать муторно. А с помощью WA, почему бы не поисследовать.

1. В координатах $x = \ln b; y = \ln a$
Условие запишется как:
$\frac{(\frac{x}{y})^{\frac{x+y}{x-y}}}{x-y} \ln \frac{x}{y}=1$

И вольфрам рисует так

Поигравшись с масштабом, можно бы сделать вывод, что есть асимптоты где-то между $4$ и $5$, но это не так :wink:

2. Посмотрим в координатах $x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}; y = \ln a$
И вольфрам рисует так

И уже видно, что между $4$ и $5$ - это не асимптота, а минимум.

Там же, в вольфраме, можно его найти, приблизительно:
$x_m \approx 11.9548; y_m \approx 4.25905$

Отсюда сразу вывод, при $a < e^{y_m} \approx 70.7427$ корней нет.

В координатах $\tilde{x} = \ln b; \tilde{y} = \ln a$ точка минимума будет выглядеть так:
$\tilde{x_m} = \ln ((e^{y_m})^{x_m}) =y_m x_m  \approx 50.916$
$\tilde{y_m} = y_m \approx 4.25905$

 Профиль  
                  
 
 Re: Убегающие экспоненты
Сообщение12.02.2024, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13428
с Территории
Вот! Вот оно!
Лично меня поразил размер возникающих чисел. Казалось бы, скажем, $e^x$ растёт ни быстро, ни медленно - "как все", $e^{e^x}$ - уже очень быстро, а $e^{e^{e^x}}$ - слишком быстро, быстрее только стенка (вертикальная); что там дальше может быть интересного? Оказывается, интересное-то только начинается, когда $e$ переваливает за 70.

Осталось выяснить пару мелких деталей. Сколько у каждой кривой касающихся кривых? Очевидно, сначала ни одной, потом при $a_{min}$ - одна, а потом - две, так? Так, но есть нюанс. При относительно небольших $a$ (скажем, 100) - обе кривых, касающихся данной, будут сверху от неё. А когда мы дойдём до таких кривых, которые сами других касались сверху, то у них-то одна будет касаться снизу! Когда и как происходит перескок между этими режимами?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group