Линеийная комбинация и двойственный базис

[Elmar]

В $\mathbb{R}$^3 даны три вектора v1 = (1; 2; 4); v2 = (1; 0;-1) и v3 = (0; 1; 2).

(a) Как можно показать, что (v1; v2; v3) это базис этого $\mathbb{R}$^3 и представить вектор (1; 1; 3) $\in $ $\mathbb{R}$^3 как линейную комбинацию v_i.

(b) К (v1; v2; v3) определен двойственный базис (v*1; v*2; v*3) от ($\mathbb{R}$^3)^*

Как можно представить линейную форму \varphi : $\mathbb{R}$^3\to
$\mathbb{R}$, (x; y; z) \mapsto -2x-3y+4z в виде линейной комбинации v_i^*


Может мне кто то помочь разобратся в этом задании?

[Brukvalub]

Elmar в сообщении #162891 писал(а):

Как можно показать, что (v1; v2; v3) это базис этого $\mathbb{R}$^3

Доказать их линейную независимость, например, проверив, что определитель матрицы из их координат отличен от 0.

Elmar в сообщении #162891 писал(а):

представить вектор (1; 1; 3) $\in $ $\mathbb{R}$^3 как линейную комбинацию Vi.

Написать покоординатные линейные зависимости и решить получившуюся ОСЛАУ.

Elmar в сообщении #162891 писал(а):

К (v1; v2; v3) определена двойственная основа (v*1; v*2; v*3).

Это - перевод с эстонского?

[Elmar]

двойственная основа= двойная база

Надеюсь это понятней

[Brukvalub]

Elmar в сообщении #162905 писал(а):

двойственная основа= двойная база

Вспомнился фильм "Человек дождя": "Кто на первой базе? А кто на второй базе"?
Возможно, речь идет о двойственном базисе в сопряженном пространстве к линейному пространству?

[Elmar]

Я попробую получше разобраться в задании и уточнить о чём точно идёт речь.

[Really]

Brukvalub в сообщении #162899 писал(а):

Написать покоординатные линейные зависимости и решить получившуюся ОСЛАУ.

Можете пояснить, что означает эта фраза?

Фактически надо просто решить НЕоднородную СЛАУ с нужным вектором в правой части. А что имели в виду вы?

[Brukvalub]

Виноват, написал лишнюю букву О впереди СЛАУ

[Elmar]

Пусть V векторное пространство над полем К, тогда будет
$V^*$ := $Hom_K$(V,K) = { \varphi: V \to K : \varphi линейно} называться двойственным ( сопряженным) пространством от V.
Элементы от $V^*$ называются линейные формы на V.
Для каждого базиса $ \beta$= (v_1,..., v_n) от V является
\beta^*= (v_1^*,..., v_n^*) базисом от V^*.
\beta^* называется двойственным базисом.

[Really]

Elmar в сообщении #162975 писал(а):

Пусть V векторное пространство над полем К, тогда будет
$V^*$ := $Hom_K$(V,K) = { \varphi: V \to K : \varphi линейно} называться двойственным пространством от V.
Элементы от $V^*$ называются линейные формы на V.
Для каждого базиса $ \beta$= (v_1,..., v_n) от V является
\beta^*= (v_1^*,..., v_n^*) базисом от V^*.
\beta^* называется двойственным базисом.

Это очень здорово, что вы это все переписали. Только судя по всему
вам это мало помогло. Я думаю, что большинству здесь все это хорошо
известно....

Суть на самом деле в том, что сопряженное к $R^3$ изоморфно
самому $R^3$. И вам нужно фактически найти биортогональный
базис к вашему исходному, а потом разложить по нему тот функционал, который вам надо.