Полуплоскость равномощна плоскости

[gosetrov]

Условие: Докажите, что полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от некоторой прямой) равномощна плоскости.

Пусть плоскость $P$ делиться прямой $L$ две полуплоскости $P_1, P_2$. Через любую точку на плоскости мы можем провести прямую $O$ ортогональную $L$. Легко показать что $(0, +\infty) \sim (-\infty, +\infty)$(Например, взяв $f(x) = -1/x + x$). Тогда $(O_P_1 = P_1 \cap O) \sim O$. Тогда с помощью этой конструкции мы сможем сопоставить любые точки из $P$ точкам из $P_1$.

Корректно ли это рассуждение?

[мат-ламер]

gosetrov в сообщении #1628534 писал(а):

Корректно ли это рассуждение?

Да.

gosetrov в сообщении #1628534 писал(а):

Докажите, что полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от некоторой прямой)

Вы доказали для открытой полуплоскости. Наверное это и имелось в виду.

-- Вт фев 06, 2024 22:51:58 --

gosetrov в сообщении #1628534 писал(а):

Через любую точку на плоскости

Лучше написать: "Через любую точку на прямой $L$" , чтобы избежать ненужного дублирования.

[Gagarin1968]

мат-ламер в сообщении #1628701 писал(а):

Вы доказали для открытой полуплоскости. Наверное это и имелось в виду.

Утверждение в условии верно независимо от того, включаем ли мы граничную прямую в полуплоскость или нет.

[warlock66613]

Я бы написал короче. Выберем заданную в условии прямую в качестве оси $Ox$ декартовой системы координат. Ось $Oy$ направим так, чтобы верхняя полуплоскость системы координат была заданной полуплоскостью. Тогда искомая биекция полуплоскости на плоскость есть $(x, y) \mapsto (x, -1/y + y)$.

[gosetrov]

Gagarin1968 в сообщении #1628702 писал(а):

Утверждение в условии верно независимо от того, включаем ли мы граничную прямую в полуплоскость или нет.

Давайте включим граничную прямую в $P_1$ тогда можно показать что $[0, +\infty) \sim (0, +\infty) \sim (-\infty, +\infty)$ и повторим рассуждение.

warlock66613 в сообщении #1628704 писал(а):

Я бы написал короче. Выберем заданную в условии прямую в качестве оси $Ox$ декартовой системы координат. Ось $Oy$ направим так, чтобы верхняя полуплоскость системы координат была заданной полуплоскостью. Тогда искомая биекция полуплоскости на плоскость есть $(x, y) \mapsto (x, -1/y + y)$.

Красиво, спасибо!