Ошибка представления рядом Тэйлора

[ksili]

Как определить максимальное значение ошибки в приближённом вычислении функции при использовании её усечённого разложения в ряд Тэйлора?

В случае если ряд знакопеременный, насколько я знаю, ошибка не больше половины остаточного члена ряда. А в случае не знакопеременного?

[Brukvalub]

ksili в сообщении #162828 писал(а):

А в случае не знакопеременного?

Ошибка равна сумме отброшенных членов. Иногда, "огрубляя" слагаемые, удается найти оценку сверху для остатка ряда, чаще пользуются разными формами остаточного члена в ф-ле Тейлора.

[Someone]

ksili в сообщении #162828 писал(а):

В случае если ряд знакопеременный, насколько я знаю, ошибка не больше половины остаточного члена ряда.

Ой! А что такое "остаточный член"?

[id]

ksili
Быть может, в "ошибка не больше половины остаточного члена ряда." имелось ввиду "первый отброшенный". Только там тогда не половина.

[ksili]

id писал(а):

Быть может, в "ошибка не больше половины остаточного члена ряда." имелось ввиду "первый отброшенный".

Может в названии я и ошибся. Я имел в виду то, что там обычно обозначается через $R_n$

id писал(а):

Только там тогда не половина.

А сколько? Я потому вопрос на форуме и задал, чтобы узнать как правильно.

[ewert]

$$|R_n(x)|\leqslant\mathop{\max}\linits_{\xi\in[x_0;x]}f^{(n+1)}(\xi)\cdot{|x-x_0|^{n+1}\over(n+1)!}$$

(если $x_0>x$, то под $[x_0;x]$ понимается $[x;x_0]$)

[ksili]

Да разные виды записи $R_n$ у меня есть в книге.
Вопрос был не об этом. А о том, какова погрешность представления функции, если обрезать ряд Тейлора (т.е. взять первыз $n$ слагаемых).
Про не знакопеременные ряды Brukvalub вроде сказал, что надо определять в каждом конкретном случае.
А про знакопеременные ряды я слышал (но в точности сейчас вспомнить не могу), что там гораздо проще и конкретнее - погрешность как-то определяется из $R_n$, и со всеми отброшенными членами париться не надо.

[TOTAL]

ksili писал(а):

Да разные виды записи $R_n$ у меня есть в книге.
Вопрос был не об этом. А о том, какова погрешность представления функции, если обрезать ряд Тейлора (т.е. взять первыз $n$ слагаемых).

Так это и есть погрешность.

[Brukvalub]

ksili в сообщении #163559 писал(а):

А про знакопеременные ряды я слышал (но в точности сейчас вспомнить не могу), что там гораздо проще и конкретнее - погрешность как-то определяется из $R_n$, и со всеми отброшенными членами париться не надо.

Погрешность при замене суммы знакопеременного ряда, модули членов которого монотонно убывают к 0, на сумму первых n его членов, не превосходит модуля первого из отброшенных членов.