Представление гармонической фукнции

[zw0rk]

Здравствуйте! У меня возник такой вопрос.

Пусть ф-ция $f(z)$ гармоническая в области $\mathbb{D}$. Можно ли подобрать такие аналитические функции $s(z)$ и $t(z)$, что $f(z) = \overline{s(z)} + t(z)$ в этой области?

[Brukvalub]

Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции

\[g(z)\]

с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь

\[ s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z) \]

. Вот и все.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции

\[g(z)\]

с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь

\[ s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z) \]

. Вот и все.

ну и как в этом рассуждении использована односвязность?

[zw0rk]

Brukvalub писал(а):

Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции

\[g(z)\]

с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь

\[ s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z) \]

. Вот и все.

Спасибо Но это немного не то. Здесь я говорю об комплексно-значных гармонических функциях, то есть тех, которые удовлетворяют ур-нию Лапалса в форме $\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \overline{z}} = 0$.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #162841 писал(а):

ну и как в этом рассуждении использована односвязность?

Обычно теорему о дополняемости гармонической функции доказывают в односвязной области. А Вы,
zoo, умете доказывать ее просто в области?

zw0rk в сообщении #162842 писал(а):

Здесь я говорю об комплексно-значных гармонических функциях, то есть тех, которые удовлетворяют ур-нию Лапалса в форме $\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \overline{z}} = 0$.

Над этим я еще не думал.

[zoo]

Brukvalub в сообщении #162845 писал(а):

Обычно теорему о дополняемости гармонической функции доказывают в односвязной области. А Вы,
zoo, умете доказывать ее просто в области?

ну вообще конечно, если взять гармоническую функцию $\ln |z|$ то дополнить ее до аналитической в кольце $1<|z|<2$ будет невозможно