2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Представление гармонической фукнции
Сообщение28.11.2008, 12:23 
Здравствуйте! У меня возник такой вопрос.

Пусть ф-ция $f(z)$ гармоническая в области $\mathbb{D}$. Можно ли подобрать такие аналитические функции $s(z)$ и $t(z)$, что $f(z) = \overline{s(z)} + t(z)$ в этой области?

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 12:46 
Аватара пользователя
Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции \[g(z)\] с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь \[
s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z)
\]. Вот и все.

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 12:51 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции \[g(z)\] с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь \[
s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z)
\]. Вот и все.

ну и как в этом рассуждении использована односвязность?

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 12:52 
Brukvalub писал(а):
Давайте говорить об односвязной области. Дополним тогда функцию $f(z)$ сопряженной гармонической функцией до аналитической в этой области функции \[g(z)\] с вещ. частью $f(z)$. Положим теперь \[
s(z) = t(z) = \frac{1}{2}g(z)
\]. Вот и все.


Спасибо :) Но это немного не то. Здесь я говорю об комплексно-значных гармонических функциях, то есть тех, которые удовлетворяют ур-нию Лапалса в форме $\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \overline{z}} = 0$.

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 12:59 
Аватара пользователя
zoo в сообщении #162841 писал(а):
ну и как в этом рассуждении использована односвязность?
Обычно теорему о дополняемости гармонической функции доказывают в односвязной области. А Вы,
zoo, умете доказывать ее просто в области? :wink:
zw0rk в сообщении #162842 писал(а):
Здесь я говорю об комплексно-значных гармонических функциях, то есть тех, которые удовлетворяют ур-нию Лапалса в форме $\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \overline{z}} = 0$.
Над этим я еще не думал.

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 13:08 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #162845 писал(а):
Обычно теорему о дополняемости гармонической функции доказывают в односвязной области. А Вы,
zoo, умете доказывать ее просто в области?

ну вообще конечно, если взять гармоническую функцию $\ln |z|$ то дополнить ее до аналитической в кольце $1<|z|<2$ будет невозможно

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group