бычно определение примерно такое. Если

- это коммутативное кольцо с единицей (например, поле), то множество многочленов
![$R[X]$ $R[X]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/0/d10457898efc375b9eded01f6c239eab82.png)
над

- это множество всех формальных выражений вида

, где

.
Слегка дополню. Насколько мне известно, под "формальными суммами" понимают просто строки определенного вида. Если понимать такое определение многочленов непосредственно, то, например,

многочленом не является, а

- является. Более того,

- тоже не многочлен с точки зрения этого определения. Поэтому, понимать многочлены как формальные суммы (т.е. как строки вида

) - не совсем правильно.
Я для себя решил эту проблему так:
1)Рассмотрим множество всех "многочленоподобных" выражений, т.е. выражений, представляющих собой сумму (возможно, состоящую из одного элемента) одночленов. Под одночленом будем понимать произведение (возможно, состоящее из одного элемента) чисел и степеней данной переменной

. В частности, таким "многочленоподобным выражением" будет, например,

.
2)Далее факторизуем множество таких выражений по:
-отождествлению

и

-приведению одночленов к стандартному виду (т.е. по перемножению внутри одночлена всех чисел и всех степеней, и по изменению порядка сомножителей)
-перестановке одночленов местами друг с другом в сумме
-по приведению подобных слагаемых
-по добавлению и удалению одночленов с нулевыми коэффициентами, в частности, по добавлению и удалению нуля
(вроде бы ничего не забыл)
Многочленом будем называть класс эквивалентности многочленоподобных выражений по данному отношению эквивалентности.
-- 30.01.2024, 20:57 --А полином выходит как бы функцией.
Над любым полем разные полиномиальные функции задаются разными многочленами. Но могут существовать поля, над которыми разные многочлены задают одну и ту же полиномиальную функцию (

и

над

). Если поле бесконечно, как

в Вашем случае, то разные многочлены задают разные полиномиальные функции, а значит, грубо говоря, можно не заморачиваться с различением многочленов и полиномиальных функций. Как-то так.