Полином надо полем

[Andrey from Mos]

Здравствуйте.

Попадаются выражения "полином над полем/множеством" на различных сайтах. А я не знаю, что имеется ввиду.
Почему-то иногда пишут, что коэффициенты полинома принадлежать этому множеству. При этом ничего не говорится о самой переменной: какому множеству она сама принадлежит.
вот, например, выдержка из одного материала:


В пункте 1 сказано, что полином p над множеством C есть следующая функция... Далее идет выражение
Что означает эта фраза "полином p над C"? И как читать идущую далее математическую запись?
Прошу помочь

[dgwuqtj]

Обычно определение примерно такое. Если $R$ - это коммутативное кольцо с единицей (например, поле), то множество многочленов $R[X]$ над $R$ - это множество всех формальных выражений вида $a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n$, где $a_i \in R$. Совсем строго оно определяется просто как множество последовательностей $(a_0, a_1, \ldots)$, где с некоторого места одни нули. Так что переменная - это просто буква, она основному кольцу не принадлежит.

Конечно, многочлен можно интерпретировать и как функцию $R \to R$, которая элемент $z \in R$ переводит в $a_0 + \ldots + a_n z^n \in R$. Но при этом разные многочлены могут задавать одну и ту же функцию. И часто такая интерпретация не нужна.

[vpb]

Andrey from Mos в сообщении #1627476 писал(а):

Попадаются выражения "полином над полем/множеством" на различных сайтах. А я не знаю, что имеется ввиду.

А вы лучше не сайты читайте, а хороший учебник по алгебре, скажем А.И.Кострикин, Введение в алгебру. А то вы не знаете, чем отличается полином от полиномиальной функции, и не видите, что написано ${\mathbb C}$, а не какое-то множество $C$.

[Andrey from Mos]

Спасибо всем за пояснения и подсказки. Я, кстати, заметил, что у заглавных букв пишут еще вертикальную черту, но не придал этому значению. Вероятно, так обозначают множества?
Учебник поищу, спасибо (как раз надеялся, что кто-то подскажет литературу)

dgwuqtj, если я правильно понимаю, в моём примере (на картинке) речь идет как раз про тот случай, что вы описали во второй части своего сообщения. То есть, комплексное число z переводится в комплексное значение функции (полинома). Одним числам из комплексного множества сопоставляются другие. А полином выходит как бы функцией.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1627477 писал(а):

бычно определение примерно такое. Если $R$ - это коммутативное кольцо с единицей (например, поле), то множество многочленов $R[X]$ над $R$ - это множество всех формальных выражений вида $a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n$, где $a_i \in R$.

Слегка дополню. Насколько мне известно, под "формальными суммами" понимают просто строки определенного вида. Если понимать такое определение многочленов непосредственно, то, например, $3X^2 + 2X^3$ многочленом не является, а $0+0X+3X^2+2X^3$ - является. Более того, $0+0X+2X^3+3X^2$ - тоже не многочлен с точки зрения этого определения. Поэтому, понимать многочлены как формальные суммы (т.е. как строки вида $a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n$) - не совсем правильно.

Я для себя решил эту проблему так:

1)Рассмотрим множество всех "многочленоподобных" выражений, т.е. выражений, представляющих собой сумму (возможно, состоящую из одного элемента) одночленов. Под одночленом будем понимать произведение (возможно, состоящее из одного элемента) чисел и степеней данной переменной $X$. В частности, таким "многочленоподобным выражением" будет, например, $3 \cdot 1.2 X^2 X^3 + X^13 + 2X - 2X + 0$.

2)Далее факторизуем множество таких выражений по:
-отождествлению $X$ и $X^1$
-приведению одночленов к стандартному виду (т.е. по перемножению внутри одночлена всех чисел и всех степеней, и по изменению порядка сомножителей)
-перестановке одночленов местами друг с другом в сумме
-по приведению подобных слагаемых
-по добавлению и удалению одночленов с нулевыми коэффициентами, в частности, по добавлению и удалению нуля
(вроде бы ничего не забыл)

Многочленом будем называть класс эквивалентности многочленоподобных выражений по данному отношению эквивалентности.

-- 30.01.2024, 20:57 --

Andrey from Mos в сообщении #1627583 писал(а):

А полином выходит как бы функцией.

Над любым полем разные полиномиальные функции задаются разными многочленами. Но могут существовать поля, над которыми разные многочлены задают одну и ту же полиномиальную функцию ($x$ и $x^2$ над $\mathbb Z_2$). Если поле бесконечно, как $\mathbb C$ в Вашем случае, то разные многочлены задают разные полиномиальные функции, а значит, грубо говоря, можно не заморачиваться с различением многочленов и полиномиальных функций. Как-то так.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1627601 писал(а):

Многочленом будем называть класс эквивалентности многочленоподобных выражений по данному отношению эквивалентности.

Вы не могли бы пояснить своё определение на примере, скажем, $\mathbb{Q}[\sqrt[3]3]$?

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1627667 писал(а):

Вы не могли бы пояснить своё определение на примере, скажем, $\mathbb{Q}[\sqrt[3]3]$?

Конструкция применима к любому полю. Что именно вы хотите уточнить?

[warlock66613]

Andrey from Mos в сообщении #1627583 писал(а):

Вероятно, так обозначают множества?

Так обозначают уникальные объекты, имена собственные так сказать. Они обычно являются множествами, но множествами со структурой. Так, в данном случае $\mathbb C$ — это не просто множество комплексных чисел, важно что это поле.

[Andrey from Mos]

Ну я пока не знаю, что такое поле. Про множества нам рассказывали, а про поля не рассказывали. Так что буду читать