2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение28.01.2024, 21:01 
Заслуженный участник


07/08/23
1110
Gg322 в сообщении #1627362 писал(а):
Объясните мне, почему минимальный многочлен $v$ это $X$?

Ну так $Av = 0$ и $v \neq 0$. Первое равенство следует из того, что $v = A^{k - 1} u$ для какого-то вектора $u$. А с чего вы взяли, что $0 \neq A^{k - 1} v$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение28.01.2024, 21:22 


29/10/21
75
(Характеристика поля равна нулю)
Разложим минимальный многочлен f оператора A на простые множители: $f=q_1^{s_1}\cdot {…}\cdot q_p^{s_p} , s_1+…+s_p=deg(f)$. Рассмотрим многочлен $g= q_1^{s_1}\cdot {…}\cdot q_p^{s_p-1} $, оператор $g(A)$ имеет не нулевой образ. Пусть $0 \neq v_1 \in (\operatorname{Im}(g(A)))^{-1}$, его минимальный многочлен не может делить многочлен $g$, т.к. иначе $v_1$ лежал бы ядре оператора. Если
$q_p(A)v_1 \neq 0 $, то $v_1$ искомый вектор.
Пусть $q_p(A)v_1 = 0$, тогда рассмотрим вектор $v_1+v_2$, где $0 \neq v_2 \in (\operatorname{Im}(q_p(A)))^{-1}$. Подейстуем оператором $g(A)$ на вектор $v_1+v_2$. Тогда если $g(A)(v_1+v_2) \neq 0$, то $v_1+v_2$ нужный нам вектор.
Если $g(A)(v_1+v_2) = 0$, то $g(A)v_1= -g(A)v_2 \neq 0$, возьмем вектор $v_1- v_2 $. Образ вектора $v_1- v_2 $ при действии оператора $g(A)$ будет ненулевой, т.к. $g(A)(v_1-v_2) = 2g(A)v_1 \neq 0$, получили нужный нам вектор.
Третья итерация доказательства, мб она правильная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 00:23 
Заслуженный участник


07/08/23
1110
А можете написать, что такое $(\mathrm{Im}(g(A)))^{-1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 04:07 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1627386 писал(а):
А можете написать, что такое $(\operatorname{Im}(g(A)))^{-1}$?

$(\operatorname{Im}(g(A)))^{-1}=\{u \in V| g(A)u \neq 0\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 16:48 
Заслуженный участник


07/08/23
1110
Gg322 в сообщении #1627372 писал(а):
Пусть $0 \neq v_1 \in (\operatorname{Im}(g(A)))^{-1}$, его минимальный многочлен не может делить многочлен $g$, т.к. иначе $v_1$ лежал бы ядре оператора. Если
$q_p(A)v_1 \neq 0 $, то $v_1$ искомый вектор.

С чего бы это он искомый? Вам нужно, чтобы минимальный многочлен $v$ был равен $f$, а вы знаете только, что этот минимальный многочлен не делит $g$ и $q_p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 18:18 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1627434 писал(а):
Gg322 в сообщении #1627372 писал(а):
Пусть $0 \neq v_1 \in (\operatorname{Im}(g(A)))^{-1}$, его минимальный многочлен не может делить многочлен $g$, т.к. иначе $v_1$ лежал бы ядре оператора. Если
$q_p(A)v_1 \neq 0 $, то $v_1$ искомый вектор.

С чего бы это он искомый? Вам нужно, чтобы минимальный многочлен $v$ был равен $f$, а вы знаете только, что этот минимальный многочлен не делит $g$ и $q_p$.

Потому что минимальный многочлен $v_1$ не делит $g$ и $q_p$, но делит $f=g \cdot q_p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1110
Gg322 в сообщении #1627451 писал(а):
Потому что минимальный многочлен $v_1$ не делит $g$ и $q_p$, но делит $f=g \cdot q_p$.

Из этого не следует, что минимальный многочлен равен $f$. Например, при $f(X) = X(X - 1)$, $g(X) = q_p(X) = X$ многочлен $X - 1$ будет контрпримером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:42 


29/10/21
75
dgwuqtj в сообщении #1627458 писал(а):
Gg322 в сообщении #1627451 писал(а):
Потому что минимальный многочлен $v_1$ не делит $g$ и $q_p$, но делит $f=g \cdot q_p$.

Из этого не следует, что минимальный многочлен равен $f$. Например, при $f(X) = X(X - 1)$, $g(X) = q_p(X) = X$ многочлен $X - 1$ будет контрпримером.

Вообще-то в доказательстве, g и $q_p$ взаимно простые многочлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:43 
Заслуженный участник


18/01/15
3234
Обратите внимание, что равенство $s_1+\ldots+s_p=\deg f$, вообще говоря, неверно, если поле не является алгебраически замкнутым. (А утверждение задачи верно при любом поле.)

-- 29.01.2024, 18:44 --

И вообще у вас там путаница ужасная...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:48 


29/10/21
75
vpb в сообщении #1627463 писал(а):
Обратите внимание, что равенство $s_1+\ldots+s_p=\deg f$, вообще говоря, неверно, если поле не является алгебраически замкнутым. (А утверждение задачи верно при любом поле.)

-- 29.01.2024, 18:44 --

И вообще у вас там путаница ужасная...

То есть, $s_1+\ldots+s_p=\deg f$ в поле вещественных чисел не работает? Я не указал в начале какое поле, пусть вещественное или комплексное

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:51 
Заслуженный участник


18/01/15
3234
Gg322 в сообщении #1627362 писал(а):
Для нильпотентного оператора я прочитал доказательство.
Его надо было не прочитать, а самому обдумать вопрос и придумать доказательство. А потом, скажем, для диагонализируемого оператора в случае когда поле комплексное. А потом, возможно, ваша мысль сама пойдет в правильном направлении.

-- 29.01.2024, 18:52 --

Gg322 в сообщении #1627464 писал(а):
в поле вещественных чисел не работает?
Не работает, действительно. Крайне просто придумать оператор на двумерном вещественном пространстве, минимальный многочлен которого степени $2$ и неприводим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:52 


29/10/21
75
vpb в сообщении #1627463 писал(а):
Обратите внимание, что равенство $s_1+\ldots+s_p=\deg f$, вообще говоря, неверно, если поле не является алгебраически замкнутым. (А утверждение задачи верно при любом поле.)

-- 29.01.2024, 18:44 --

И вообще у вас там путаница ужасная...

Я уже не помню, но вроде если кольцо многочленов определено над полем, то оно евклидово, и потому там всегда существует единственное разложение, которое даёт равенство степеней

-- 29.01.2024, 19:53 --

vpb в сообщении #1627465 писал(а):
Gg322 в сообщении #1627362 писал(а):
Для нильпотентного оператора я прочитал доказательство.
Его надо было не прочитать, а самому обдумать вопрос и придумать доказательство. А потом, скажем, для диагонализируемого оператора в случае когда поле комплексное. А потом, возможно, ваша мысль сама пойдет в правильном направлении.

-- 29.01.2024, 18:52 --

Gg322 в сообщении #1627464 писал(а):
в поле вещественных чисел не работает?
Не работает, действительно.

А можно пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 19:57 
Заслуженный участник


18/01/15
3234
Gg322 в сообщении #1627466 писал(а):
А можно пример?
См. последнюю фразу в моем предыдущем сообщении (там исправлено). Придумайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 20:16 
Заслуженный участник


07/08/23
1110
Gg322 в сообщении #1627462 писал(а):
Вообще-то в доказательстве, g и $q_p$ взаимно простые многочлены.

Нет, у вас в доказательстве $g = \frac f{q_p}$. Если $f$, скажем, нильпотентен и ненулевой, то они не взаимно простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из линейной алгебры
Сообщение29.01.2024, 20:36 


29/10/21
75
Gg322 в сообщении #1621599 писал(а):
Пусть линейные операторы $I,A,…,A^{n-1}$ линейно независимы и определены в линейном пространстве размерности n. Доказать, что существует вектор u такой, что векторы $u,Au,…,A^{n-1}u$ линейно независимы. Как можно было бы доказать это утверждение?

Сдаюсь,не получается все учесть. Как можно доказать это утверждение без жордановых форм, без форм Фробениуса, без кообразов?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group