Равномерная сходимость

[dragonfly132]

Добрый день, у меня такая задачка:
$L \geqslant 0,\, a, b \in\mathbb{R},\,a<b$. Дана следующая последовательность функций: $(f_n) : [a,b] \to \mathbb{R}$ для $n\in\mathbb{N}$ является липшицевым отображением,
т.е. $|f_n(x)-f_n(y)|\leqslant L|x-y|$ для всех $x, y \in [a,b]$. Последовательность функций $(f_n)$ сходится поточечно к функции $f : [a,b]\to\mathbb{R}$.
Докажите, что $(f_n)$ сходится равномерно к f.
Подсказка: Докажите сначала, что функция f является липшицевым отображением.

P.S. Я уже доказал, это было несложно, что функция f является липшицевым отображением, причём для той же границы L, т.е. $|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|$ для всех $x, y \in [a,b]$. Но пока не получается прийти к равномерной сходимости.
Буду рад помощи

[adfg]

теорема Арцела-Асколи