Ветвящиеся процессы

[meshok]

Доброго времени суток!
Прорешиваю для себя задачи про ветвящиеся процессы.
Найдите производящую функцию числа частиц в $n$-ом поколении, если производящая функция числа потомков одной частицы равна $\varphi(z)=(1-p)/(1-pz)$.
Пусть $X_n$-- количество частиц в $n$-ом поколении, тогда $\varphi_{X_n}(z)=\varphi(\varphi(...\varphi(z)))$, то есть нужно функцию $\varphi$ подставить в себя $n-1$ - раз.
Пусть $\displaystyle \Large n=2$, тогда $\displaystyle \Large \varphi_{X_2}(z)=\frac{(1-p)(1-pz)}{1-p+p^2-pz}$.
Пусть $\displaystyle \Large n=3$, тогда $\displaystyle \Large \varphi_{X_3}(z)=\frac{(1-p)(1-pz)^2}{1-2p+2p^2-pz(1-p+p^2)}$.
Пусть $\displaystyle \Large n=4$, тогда $\displaystyle \Large \varphi_{X_4}(z)=\frac{(1-p)(1-pz)^3}{1-3p+4p^2-2p^3+p^4-pz(1-2p+2p^2)}$.
Как-то не получается увидеть общей формулы для $\displaystyle \Large \varphi_{X_n}$. Может кто-нибудь знает, как решить эту задачу?
P.S. Аналогичная задача ставилась для характеристической функции $\varphi(z)=1-p(1-z)^\alpha,\alpha\in(0,1)$. Для этого распределения задача решилась легко.
Хотел узнать, есть ли название у распределения с такой производящей функцией?

[Null]

Можно перейти к степени матрицы $2\times 2$, взять у нее собственные векторы и значения и получить формулу.

[мат-ламер]

Null в сообщении #1624686 писал(а):

Можно перейти к степени матрицы $2\times 2$, взять у нее собственные векторы и значения и получить формулу.

Тут есть вариант разложить ту матрицу на сумму двух более простых и искать степень её через бином Ньютона.

-- Вт янв 02, 2024 19:11:50 --

meshok
У вас по-видимому ошибка в вычислениях, ибо композиция наших дробно-линейных преобразований есть также преобразование дробно-линейное. А у вас там появляются старшие степени $z$ .

-- Вт янв 02, 2024 19:16:49 --

meshok
Надеюсь идея Null насчёт матриц вам понятна, ибо группа невырожденных дробно-линейных преобразований изоморфна группе невырожденных матриц (два на два) с понятно каким изоморфизмом.

[meshok]

Да, все понятно. Большое спасибо.