Формула Маклорена для тангенса

[hanik]

Задача заключается в нахождении формулы Маклорена с $o(x^5)$ для функции тангенса, применяя метод неопределенных коэффициентов.

Первыми шагами в решении автор указывает, что тангенс - нечетная функция и что $\tg x = x + o(x)$. Затем он переходит к выражению
$\tg x = x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + o(x^6)$.

Я не понимаю, откуда получается это последнее выражение. Я пытался вручную высчитывать производные высших порядков для тангенса, и получилось, что вторая производная действительно обращается в нуль при $x=0$. Но автор об этом пути ничего не говорит.

Пожалуйста, помогите разобраться.

[svv]

hanik

Первый способ.
Если функция $f$ нечётная, $f(x)=-f(-x)$, то
$f(x)=\dfrac{f(x)+f(x)}2=\dfrac{f(x)-f(-x)}2$
Пусть
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+o(x^6)$
Подставив это в правую часть предыдущей формулы, получим
$f(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+o(x^6)$

Второй способ.

hanik в сообщении #1624731 писал(а):

Я пытался вручную высчитывать производные высших порядков для тангенса, и получилось, что вторая производная действительно обращается в нуль при $x=0$.

Потому что производная нечётной функции чётна, а производная чётной функции нечётна. Значит, производные чётного порядка от нечётной $\tg(x)$ — тоже нечётны, а потому обращаются в нуль при $x=0$.

[hanik]

svv
Спасибо Вам большое, воспользовался первым подходом. По поводу второго подхода - можно будет взять на вооружение на будущее)