Основы линейной алгебры

[int13]

Здраствуйте. Мне необходимо решить некоторые задания, прочитав курс теории. Сходу разобраться не удалось, и поэтому я не могу вникнуть в формулировки заданий, что вызывает сложности при решении.
Итак, задание номер 1.
Пусть A = {a1, a2, ..., ak} - система векторов арифм. пространства.
а) Найти ранг и базу системы А
б) Вектора не входящие в базу выразить через векторы базы.

а1 = (-2, 1, 7, 3)т
а2 = (2, 6, 3, 6)т
а3 = (1, 5, -2, 7)т
а4 = (-1, 2, 12, 2)т

Как решал его я.. Составил матрицу А - {a1,a2,a3,a4}

(-2 2 1 -1 )
( 1 ....... )
( 7 ....... )
( 3 ....... )

Привел её к:

(0 0 1 -1)
(0 1 0 1)
(1 0 0 1)

Отсюда сделал вывод, что ранг равен трем. (как это записать?)
А база - <a1,a2,a3>
И a4 выражается как a1+a2-a3.
Правильно ли это? Какие может быть есть тонкости при оформлении или что-нибудь на что нужно обратить внимание?

[bot]

int13 в сообщении #162470 писал(а):

Отсюда сделал вывод, что ранг равен трем. (как это записать?)

Так и пишите - ранг равен трём. (Если у вас это рангом называют)

int13 в сообщении #162470 писал(а):

Правильно ли это?

Правильно.

int13 в сообщении #162470 писал(а):

Какие может быть есть тонкости при оформлении или что-нибудь на что нужно обратить внимание?

Не знаю Вашего препода, на его месте я бы ни к чему не придирался.

[int13]

Хорошо, спасибо.
А вот, допустим, такое задание.
Пусть A = {a1, a2, a3} - лин. незав. система векторов в некот. пространстве V. Для заданной системы B = {b1, b2,..., b5}
а) Выяснить является ли B - лин. зависимой
б) Найти ранг и все базы системы B. Для одной из баз выразить векторы не входящие в базу через векторы базы.
в) Являются ли системы А и В эквивалентны?
г) Найти размерность и базис W=L(B), где L(B) - лин. оболочка натянутая на B
...
b1=4a1+7a2+7a3
b2=5a1+4a2+6a3
b3=3a1+10a2+8a3
b4=7a1+17a2+15a3
b5=2a1+13a2+9a3
===
В голову приходит только выписать коэффициенты в виде
(4 7 7)
(5 .. )
(3 .. )
(7 .. )
(2 .. )
Упростить...
Тогда я найду базу и ранг. Хотя в задании нужно найти ВСЕ базы... Это как? Нужно брать "направляющие элементы" в разном порядке? Тогда их целая куча получается...
Насчет эквивалентности... Помню, что свойство эквивалентности заключается в том, что две системы эквивалентны если каждый вектор из одной системы линейно выражается через вектора другой системы...
Только вот систему А, в явном виде тут не задана... Наверное, можно сказать, что каждый вектор B можно представить как линейную комбинацию векторов из A, а вот можно ли сказать обратное, я не знаю...
Насчет последнего задания, даже не буду строить догадки, так как придется тыкать наугад.., не пойму что значит W=L(B), и что значит лин. оболочка натянутая на B..

[bot]

Во всех пунктах, кроме третьего система A отдыхает. Остальные пункты делаются за один проход гауссовыми преобразованиями в том порядке, как Вы это делали в предыдущей задаче:
Назначаете ненулевой элемент ведущим и преобразованиями строк обнуляете все элементы столбца, в котором он стоит, в любой другой строке опять выбираете ведущий и опять делаете то же самое. Прцесс прекратится, когда выбор ведущего станет невозможным. В этот момент при мысленной перестановке строк и столбцов у Вас выделится единичная матрица. Выделенные ведущие укажут номера векторов одной из баз, их количество - размерность оболочки (или ранг, как сказано). Как остальные векторы выражаются через базу, скажут столбцы так же как в решённой Вами задаче.

Линейная оболочка множества векторов - это множество всех линейных комбинаций векторов из B. Линейная оболочка является пространством со всеми вытекающими отсюда понятиями: размерность, базис, ...


Относительно нахождения всех баз ... задача дурацкая, но из конкретных зависимостей которые Вы найдёте, выразив все векторы через одну из баз, немного покомбинаторив, обычно нетрудно найти все возможные базы.

Пункт в) странный: если ранг B окажется не равным 3, то эквивалентности заведомо нет, а если окажется, то для эквивалентности надо знать эту А.

[int13]

В процессе упрощения этой системы получилась вот такая штука:

( 0 1 0 )
( 0 9.5 5.5)
( 1 14/11 0 )

Причем направляющий элемент взял из всех столбцов кроме среднего, и когда я зануляю среднюю строку получается ( 0 0 0 ), то есть это как понимать.. Либо я не правильно решил, либо любые вектора являются решением?

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Вдогонку, прошу расшифровать мне вот такое задание:
Для данной матрицы А
а) Найти столбцовую базу. Остальные столбцы выразить через нее.
б) Найти строчечную базу. Остальные столбцы выразить через нее.
в) Найти базисный минор.

(-2 1 7 3 )
( 2 6 3 6 )
( 1 5 -2 7)
( -1 2 12 2)

Когда читал теорию, мне показалось, что я видел такое высказывание, что столбцовая и строчечная базы неквадратной матрицы равны, и равны этому же базисному минору. Про конкретно квадратную не помню.
Так вот, что здесь нужно сделать?
Решить... Транспонировать, и снова решить?

[Brukvalub]

int13 в сообщении #162514 писал(а):

Так вот, что здесь нужно сделать?

Можно привести матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Ненулевые ступени и укажут номера строк, образующих строчечную базу, а те их линейные комбинации, которые уничтожили остальные строки, и дадут необходимые выражения для остальных строк. Потом проделать то же самое для столбцов.
Наконец, найти ненулевой минор размера, совпадающего с рангом матрицы. Его имеет смысл искать на пересечениях уже найденных базисных строк и базисных столбцов.