Функциональное уравнение f(x^2)+f(x)=x^2+x

[Kapnal Loga]

Добрый вечер. Нам дано функциональное уравнение $f(x^2)+f(x)=x^2+x$ и $f=C([0,1])$. Что-то похожее есть в Кудрявцеве. Не совсем понимаю, как подступиться? Подстановкой не получилось. Ощущение, что необходимо просто выразить $f(x)$ и идти через рекурсию, но как в таком случае строго обосновать получившуюся сумму, что будет 0, если рекурсивно раскрывать $f(x)$ и отделить в сторону $x$? В какой момент необходима непрерывность?

[Утундрий]

Напрашивается $f(x)=h(x)+x$, а для $h$ всё выглядит проще.

[Kapnal Loga]

Утундрий

Таким образом мы получим $h(x^2)+h(x)=0$, необходимо, чтобы $h(x)=0$ при любом значении переменной. И как же этого добиться? Кажется, подстановка и рекурсия здесь не ищутся.

[Утундрий]

Kapnal Loga в сообщении #1622420 писал(а):

необходимо, чтобы $h(x)=0$ при любом значении переменной.

Это одно из решений, но не общее.

[KhAl]

Утундрий
ТС упомянул, что $f$ — непрерывная функция, определённая на $[0;1]$. Даже так?..

[Утундрий]

Поскольку $h(0)=h(1)=0$, имеется точка максимума $a$, тиражируя которую в $a^2,\; a^3,\;a^4 \ldots$ можно прийти к какому-нибудь противоречию. Наверное. Пусть выскажутся те, кто чуть менее чем полностью я позабыли матан.

[Mihr]

Утундрий в сообщении #1622429 писал(а):

Поскольку $f(0)=f(1)=0$

Вроде, из уравнения следует, что $f(1)=1$.

[Утундрий]

Пардон, имел в виду $h$. Поправил.

[adfg]

Kapnal Loga в сообщении #1622420 писал(а):

Таким образом мы получим $h(x^2)+h(x)=0$, необходимо, чтобы $h(x)=0$ при любом значении переменной. И как же этого добиться? Кажется, подстановка и рекурсия здесь не ищутся.

Утундрий в сообщении #1622429 писал(а):

Поскольку $h(0)=h(1)=0$, имеется точка максимума $a$, тиражируя которую в $a^2,\; a^3,\;a^4 \ldots$ можно прийти к какому-нибудь противоречию. Наверное. Пусть выскажутся те, кто чуть менее чем полностью я позабыли матан.

Всё проще. Для любого $x>0$ выполняется:
$h(x) = h(x^{\frac{1}{4}}) = h(x^{\frac{1}{16}}) = \ldots = h(x^{\frac{1}{2^{2n}}}) = h(1) = 0$

[Утундрий]

Ну, как-то туда меня и помыслило.