Задача на движение прямой

[kolpacc123]

Здравствуйте.

Решаю задачи из конспекта "100 уроков математики" Савватеева.
Испытваю проблемы с пониманием, достаточно ли строгие доказательства я привожу и хочу, чтобы мне указали на недочеты, если они есть.

Задача 2.12

Назовем четностью движения прямой четность количества отражений, с помощью которых это движение может быть выражено.

Доказать, что:
a) Четность обратного движения $G^{-1}$ совпадает с четностью исходного движения $G$.
b) Четность композиции движений равна сумме четностей (по модулю 2) компонентов.
c) Четность движения не зависит от его представления в виде композиций каких-либо движений.

Решение

a) Представим $G$ в виде композиции движений $g \circ f \circ h \circ \dots$.
Тогда $G^{-1}$ будет равно $\dots \circ h^{-1} \circ f^{-1} \circ g^{-1}$.

Любое отображение прямой относительно точки $O$ ($S_O$) равно обратному отображению себя же ($S_O^{-1}$).
Любой перенос прямой на вектор $v$ ($T_v$) равен обратному переносу на вектор $-v$ ($T_{-v}^{-1}$)
Таким образом, типы движений не изменятся, переносы останутся переносами, а отображения - отображенеиями.

Композиция двух переносов также перенос: $T \circ T = T$
Композиция двух отображений - перенос: $S \circ S = T$
Композиция переноса и отображения - отображение: $T \circ S = S$ и $S \circ T = S$
Таким образом, тип движения-результата композиции не изменяется при применении движений в обратном порядке

Т. к. в $G^{-1}$ порядок применения движений изменен на обратный, то для любого движения в композиции его соседи остаются неизменными (лишь меняется их порядок)
Следовательно, в $G^{-1}$ можно последовательно применять композицию к тем же движениям, что и в $G$ и тип результирующего движения не изменится, а т. к. не изменится тип, то не изменится и четность.

b) Не понял, что значит сумма четностей. Можете, пояснить, пожалуйста? И за компонент композиции можно принять как отдельное движение, так и композицию движений, верно?

c) Рассмотрим произвольное движение $G$ = $g \circ f \circ h \circ \dots$.
Из таблицы композиций в решении a) ясно, что любой перенос можно представить либо в виде композиции двух переносов, либо в виде композиции двух движений, следовательно четность не изменится, т. к. всегда добавляется четное количество движений.
Аналогично для отображения - если представить отображение в виде композиции, то из одного отображения получится отображение $+$ перенос и четность не изменится, т. к. не изменилось количество отображений.
В обратную сторону также работает, четность не меняется при применении композиции к двум движениям.

[dgwuqtj]

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

Любое отображение прямой относительно точки

Это отражение относительно точки. Отображения - это функции между множествами, а отражениями в геометрии называют частные виды отображений из пространства (плоскости, прямой) в себя.

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

Не понял, что значит сумма четностей.

Есть две чётности, $\text{чёт}$ и $\text{неч}$. Сложение на них задаётся так: $\text{чёт} + \text{чёт} = \text{неч} + \text{неч} = \text{чёт}$, $\text{чёт} + \text{неч} = \text{неч} + \text{чёт} = \text{неч}$. То есть так, чтобы чётность суммы целых чисел была суммой чётностей слагаемых.

Вообще в определении движение раскладывается в композицию отражений, а дальше вы везде раскладываете в композицию отражений и параллельных переносов. Это странно хотя бы потому, что любое движение является либо отражением, либо параллельным переносом. Хотя из классификации движений и знания того, как устроены типы композиций движений, все ваши утверждения легко следуют.

[мат-ламер]

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

b) Четность композиции движений равна сумме четностей (по модулю 2) компонентов.

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

b) Не понял, что значит сумма четностей.

Каждому компоненту приписывается некое число - чётность. Это либо 0 либо 1. Затем все эти числа суммируются. Затем берётся остаток по модулю 2. Доказать пункт б) можно по индукции.

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

a) Четность обратного движения $G^{-1}$ совпадает с четностью исходного движения $G$.

Наверное, проще доказывать как следствие пункта б).

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

c) Четность движения не зависит от его представления в виде композиций каких-либо движений.

Как бы какое-либо конкретное движение не представляй в виде композиции других движений, оно от этого не изменится.

[мат-ламер]

kolpacc123 в сообщении #1622142 писал(а):

c) Четность движения не зависит от его представления в виде композиций каких-либо движений.

мат-ламер в сообщении #1622240 писал(а):

Как бы какое-либо конкретное движение не представляй в виде композиции других движений, оно от этого не изменится.

Это только начало рассуждений. Наверное тут надо ввести понятие ориентации прямой. И воспользоваться тем, что любое отражение меняет эту ориентацию.

[TOTAL]

Цитата:

Назовем четностью движения прямой

А что назовём "движением прямой"?

[kolpacc123]

dgwuqtj в сообщении #1622157 писал(а):

Это отражение относительно точки. Отображения - это функции между множествами, а отражениями в геометрии называют частные виды отображений из пространства (плоскости, прямой) в себя.

Да, конечно. Посыпаю голову пеплом...

dgwuqtj в сообщении #1622157 писал(а):

Вообще в определении движение раскладывается в композицию отражений, а дальше вы везде раскладываете в композицию отражений и параллельных переносов.

Я понял это так, что движение можно представить в виде композиции движений произвольной длины, и не только отражений, но и переносов. Т. е. если, например, движение представлено в виде $S \circ T \circ S \circ S \circ T$, то в этом представлении 3 отражения, следовательно оно не четно.

-- 13.12.2023, 18:07 --

мат-ламер в сообщении #1622257 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1622240 писал(а):

Как бы какое-либо конкретное движение не представляй в виде композиции других движений, оно от этого не изменится.

Это только начало рассуждений. Наверное тут надо ввести понятие ориентации прямой. И воспользоваться тем, что любое отражение меняет эту ориентацию.

А мои рассуждения в a) и c) неверны или неполны?

-- 13.12.2023, 18:12 --

TOTAL в сообщении #1622270 писал(а):

А что назовём "движением прямой"?

Из конспекта с задачей:

Цитата:

А именно, движением называется преобразование (прямой, плоскости и т. д.), сохраняющее расстояния: если между точками $A$ и $B$ было расстояние $x$, то после преобразования движения расстояние между точками $A'$ и $B'$, в которые перешли исходные точки, тоже будет $x$, и так для любой пары точек.

-- 13.12.2023, 18:39 --

мат-ламер в сообщении #1622240 писал(а):

Каждому компоненту приписывается некое число - чётность. Это либо 0 либо 1. Затем все эти числа суммируются. Затем берётся остаток по модулю 2. Доказать пункт б) можно по индукции.

Так?

Пусть $f$ - функция четности движения. $f(G) = 0$, если движение четно, и $f(G) = 1$, если нечетно.
Рассмотрим произвольное движение $G = G_1 \circ G_2 \circ G_3 \circ \dots$.
Предположим, что $f(G_1 \circ G_2 \circ G_3 \circ \dots) = (f(G_1) + f(G_2) + f(G_3) + \dots) \mod 2$.

База индукции:
$f(S) = 1$
$f(S \circ S) = 0$

Шаг: $n \to n-1$
Уберем одно движение $G'$ из левой и правой частей выражения.
Если $G'$ - это перенос, то четность не изменится, равенство сохранится
Если $G'$ - это отажение, то в обеих частях выражения 0 сменится на 1, либо 1 на 0, равенство также сохранится

[TOTAL]

kolpacc123 в сообщении #1622277 писал(а):

TOTAL в сообщении #1622270 писал(а):

А что назовём "движением прямой"?

Из конспекта с задачей:

Цитата:

А именно, движением называется преобразование (прямой, плоскости и т. д.), сохраняющее расстояния: если между точками $A$ и $B$ было расстояние $x$, то после преобразования движения расстояние между точками $A'$ и $B'$, в которые перешли исходные точки, тоже будет $x$, и так для любой пары точек.

При таком движении прямая может быть передвинута одним или двумя отражениями. Что тогда считать чётностью?

[мат-ламер]

kolpacc123 в сообщении #1622277 писал(а):

А мои рассуждения в a) и c) неверны или неполны?

с) А что мы вообще тут доказываем? Я думаю, что понятие чётности движения определено корректно. То есть, не может быть так, что одно и то же движение с одной стороны разложено в композицию, в которой два отражения. А с другой стороны разложено в композицию, в которой три отражения. Что-то должно помешать этому. Думаю, что рассуждая сугубо в терминах композиций, мы это доказать не сможем. Нужно привлекать какое-то свойство прямой, которое либо сохраняется, либо заменяется на противоположное.

а) У вас скорее всего всё правильно. Просто я подумал, что можно рассуждать проще.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1622294 писал(а):

Нужно привлекать какое-то свойство прямой, которое либо сохраняется, либо заменяется на противоположное.

Можно считать, что прямая имеет две возможные ориентации. При этом под действием отражения она изменяет свою ориентацию.