Решение системы нелинейных уравнений

[Talker]

Аппроксимирую методом наименьших квадратов по косинусам, т.е. ищу функцию в виде A*cos(B*X + C) + D. На заданной сетке должно быть СУММ(A*cos(B*Xi + C) + D - Yi)^2 -> min. Приравниваю каждое слагаемое суммы к 0, получаю систему нелинейных уравнений. Эту штуку нужно как-то решить, найти A, B, C и D. Итерации и метод Ньютона улетают в бесконечность. Что ещё можно зесдь использовать?

[Dan_Te]

Вряд ли у вас получится найти решение, если вы просто приравняете сумму (а значит, и каждое слагаемое) к нулю. Система будет разрешима либо если количество уравнений будет равно количеству неизвестных, либо если вы ищете не аппроксимацию, а точную зависимость, которая действительно существует.

Обычно, если есть наборы x_1..x_n и y_1..y_n и надо найти аппроксимацию известного вида, то есть такие значения коэффициентов, при которых достигается минимум некоторой функции риска (которую часто выбирают дифференцируемой)
$f(a,b,c,d,x_1\ldots x_n,y_1\ldots y_n) \to \min$,
то ищут решение системы уравнений
$\frac {\partial f}{\partial a} = \ldots = \frac {\partial f}{\partial d} =0$

Для вашей аппроксимации система выглядит не очень приятно. Но численно ее, наверное, можно решить.

[Talker]

Цитата:

Для вашей аппроксимации система выглядит не очень приятно. Но численно ее, наверное, можно решить.

В этом и вопрос - каким методом её можно решить?[/quote]

[незваный гость]

Вы неправильно применяете метод наименьших квадратов. $S = \sum_i (A \cos(B X_i + C) + D - Y_i)^2 \to min$, как и сказал Вам Dan_Te, имеет минимум, когда $\frac {\partial S} {\partial A} = $ $\frac {\partial S} {\partial B} = $ $\frac {\partial S} {\partial C} = $ $\frac {\partial S} {\partial D} = 0$. То есть, мы имеем систему четырех уравнений ($\sum_i \cos(B X_i + C)(A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$, $\sum_i (- A X_i \sin(B X_i + C) )(A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$, $\sum_i (- A \sin(B X_i + C) )(A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$ и $\sum_i (A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$). Я думаю, она должна решаться методом Ньютона. Если у Вас не получится, попробуйте дать нам $X_i$, $Y_i$.

Систему, кстати, можно слегка упростить, рассмотрев случай $A = 0$ отдельно. То есть, найти минимум $\sum_i (D - Y_i)^2 \to min$ ($D$ равно среднему значению $Y_i$), и искать отдельно решение системы при $A \neq 0$. В последнем случае второе и третье уравнение можно разделить на $-A$: $\sum_i X_i \sin(B X_i + C) (A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$, $\sum_i \sin(B X_i + C)(A \cos(B X_i + C) + D - Y_i) = 0$. Пустячок, а приятно.

[Talker]

Спасибо