Пружинный пистолет: НЕ простая задача

[reterty]

Хорошо известна школьная задачка на закон сохранения полной механической энергии: в пружинном пистолете пружина сжата на величину $\Delta x_0$. Определить скорость вылета пульки если ее масса $m$ а жесткость пружины $k$ (сопротивлением и трением пренебречь)). Однако, кроме того, что пружина имеет конечную массу и может обладать конечным запасом кинетической энергии здесь интересен и другой момент: пулька может отделиться от пружины вовсе не в момент ее распрямления, когда полностью исчезнет ее деформация а и в более ранний момент времени, когда пружина еще имеет некоторый запас энергии деформации. В общем, мне кажется здесь есть что обсудить и даже попытатся посчитать.

[Dmitriy40]

reterty в сообщении #1621235 писал(а):

а и в более ранний момент времени, когда пружина еще имеет некоторый запас энергии деформации.

Это почему? В эти моменты пружина ещё сжата, а значит сила действует в сторону ускорения/разгона и следовательно пулька отделиться не может, её тоже ещё ускоряют.
Вот после прохождения положения равновесия сила поменяет знак и станет тормозить пружину и пулька сможет отделиться.

Соответственно обсуждать нечего. А считать всё тривиально.

[Mihr]

Dmitriy40 в сообщении #1621242 писал(а):

Это почему?

Здесь предлагается к рассмотрению задача с тяжёлой пружинкой. Можно для начала рассмотреть другой крайний случай: пружинка намного тяжелее пульки, так что пульку она практически "не замечает". Если пружинку деформировать, а затем отпустить, она станет совершать колебания. При этом её конец движется то ускоренно, то замедленно. Пока он движется ускоренно, пулька не отрывается, но как только ускорение конца пружинки становится отрицательным, пулька отрывается от него. Это я пока не принимаю во внимание силу тяжести. Если же её учитывать, то необходимо, конечно, задавать и угол наклона ствола к горизонту, да и трение пульки о ствол. Случай же, когда массы пружинки и пульки - одного порядка, является наиболее общим.

[reterty]

Dmitriy40 в сообщении #1621242 писал(а):

reterty в сообщении #1621235 писал(а):

а и в более ранний момент времени, когда пружина еще имеет некоторый запас энергии деформации.

Это почему? В эти моменты пружина ещё сжата, а значит сила действует в сторону ускорения/разгона и следовательно пулька отделиться не может, её тоже ещё ускоряют.
Вот после прохождения положения равновесия сила поменяет знак и станет тормозить пружину и пулька сможет отделиться.

Соответственно обсуждать нечего. А считать всё тривиально.

Нетривиально считать для случая произвольных масс $m$ и $M$ соответственно пульки и пружины. И кроме того, Вы можете строго доказать что в любой момент времени, вплоть до положения равновесия, скорости (и ускорения) движущегося конца пружины и пульки (второй конец закреплен) равны?

-- Ср дек 06, 2023 21:57:43 --

Mihr в сообщении #1621246 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1621242 писал(а):

Это почему?

Здесь предлагается к рассмотрению задача с тяжёлой пружинкой. Можно для начала рассмотреть другой крайний случай: пружинка намного тяжелее пульки, так что пульку она практически "не замечает". Если пружинку деформировать, а затем отпустить, она станет совершать колебания. При этом её конец движется то ускоренно, то замедленно. Пока он движется ускоренно, пулька не отрывается, но как только ускорение конца пружинки становится отрицательным, пулька отрывается от него. Это я пока не принимаю во внимание силу тяжести. Если же её учитывать, то необходимо, конечно, задавать и угол наклона ствола к горизонту, да и трение пульки о ствол. Случай же, когда массы пружинки и пульки - одного порядка, является наиболее общим.

Силу тяжести во внимание не принимаем, считая дуло пистолета строго горизонтальным.

[Dmitriy40]

Какой бы тяжелой пружина ни была, если сила направлена в сторону ускорения конца с пулькой, то они ускоряются и пулька оторваться не может (её ускоряют, т.е. принуждают двигаться быстрее чем по инерции).
Но знак (да собственно и величина) силы действия пружины не зависит от скорости конца, только от координаты. Надеюсь речь не идёт про релятивистские скорости или даже про околозвуковые в металле пружины.
От массы пружины будет зависеть скорость конца пружины с пулькой в момент прохождения положения равновесия (положения несжатой пружины), и соответственно скорость пульки, и только. Но не момент отрыва (момент смены знака силы пружины).
Или Вы намекаете что закон Гука несправедлив при учёте кинетической энергии пружины? И сила обратится в ноль где-то вне точки равновесия (положения несжатой пружины)? С чего бы?

UPD.
Ну а то что считать всё просто, ну так в момент отрыва пульки сила будет нулевой (точнее менять знак, но так как функция монотонна, то точка будет единственной), а значит вся энергия сжатой пружины перейдёт в кинетическую энергию пульки и движущейся части пружины. И разумеется по закону Гука это произойдёт точно в точке положения несжатой пружины. Так что начальную энергию знаем, полную кинетическую энергию тоже знаем, вопрос лишь как она поделится между пулькой и пружиной при равных скоростях пульки и конца пружины. Трудность лишь с интегралом кинетической энергии пружины по длине, но там же всё линейно (скорость по длине пружины), соответственно интеграл от линейной функции несложен.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1621251 писал(а):

И кроме того, Вы можете строго доказать что в любой момент времени вплоть до положения равновесия скорости (и ускорения) движущегося конца пружины (второй конец закреплен) равны?

Тут что-то пропущено. Грамматика не сходится.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1621261 писал(а):

reterty в сообщении #1621251 писал(а):

И кроме того, Вы можете строго доказать что в любой момент времени вплоть до положения равновесия скорости (и ускорения) движущегося конца пружины (второй конец закреплен) равны?

Тут что-то пропущено. Грамматика не сходится.

Уже сходится

[Утундрий]

reterty в сообщении #1621265 писал(а):

Уже сходится

К положению равновесия скорости. И ускорения заодно.

[realeugene]

А чего сложного? В пренебрежении трением и для линейной пружины, конечно.

Пусть $x := x(s, t), 0 \le s \le 1, t \ge 0$. Тогда:

$$\frac {\partial ^ 2 x} {\partial t^2} = \chi\frac {\partial ^ 2 x} {\partial s^2}$$

$$x=0 |_{s = 0}$$

$$\left \frac {\partial ^ 2 x} {\partial t^2} = \gamma \left( 1 - \frac {\partial x} {\partial s} \right)\right|_{s=1}$$

$$\left x = \beta s \right|_{t=0}$$

Имеем волновое уравнение с граничными условиями. Что-то типа длинной линии, хитро нагруженной на реактивность. Будут бегать волны скорости туда-сюда-обратно, отражаясь от левого края с изменением знака. Ускорение правого края будет кусочно-непрерывной функцией с периодическими разрывами через двойное время прохождения звука в пружине, будет сумма каких-то экспонент на каждом промежутке непрерывности, скорее всего. Когда ускорение правого края впервые станет отрицательным, пулька оторвётся.

[realeugene]

Кстати, ещё от одной константы можно избавиться, если в качестве единицы времени выбрать, например, двойное время прохождения звука по пружинке. Но всё равно конфигурация задачи зависит от двух безразмерных констант: начального относительного сжатия пружины и ещё некоторой функции масс пульки, пружины, а также жесткости и равновесной длины пружины.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1621251 писал(а):

Силу тяжести во внимание не принимаем

А почему бы и не ?

reterty в сообщении #1621251 писал(а):

считая дуло пистолета строго горизонтальным.

Мне кажется , что если мы будем считать, что пистолет стреляет под углом к горизонту, то это несколько оживит задачу.

Хотя всё равно задача остаётся тривиальной. Но может ТС будет интересно найти момент отрыва для такого случая?

[realeugene]

realeugene в сообщении #1621418 писал(а):

Но всё равно конфигурация задачи зависит от двух безразмерных констант: начального относительного сжатия пружины и ещё некоторой функции масс пульки, пружины, а также жесткости и равновесной длины пружины.

А если сделать замену $x' = x - s$, получится система линейных однородных дифференциальных уравнений, в которых начальное относительное сжатие пружины $\beta$ только масштабирует решение, не изменяя его качественно. В результате решение будет качественно существенно зависеть от одного параметра: от отношения периода колебаний пульки, закреплённой на конце невесомой пружины, к времени прохождения звука по пружине.

[reterty]

Предположу, что отрыв пульки от конца пружины до момента ее распрямления возможен при учете конечной массы корпуса пистолета $\mu$, который, вследствие отдачи, движется вместе с пружиной в противоположном направлении. Это если учесть легкость пластмассового пистолета а вместо пульки использовать стрелу.

[Dmitriy40]

Тогда очевидно нужна масса той "стенки", в которую упирается пружина.
И однако до момента полного распрямления пружины по прежнему будет справедлив закон Гука и на пульку будет действовать разгоняющая сила - и ничего не изменится, кроме скорости пульки и координаты момента отрыва. Координаты! Но не факта отрыва в момент полного распрямления пружины (пусть и с другими координатами и скоростью).

В чём сложность понять что пока есть разгоняющая сила - будет и ускорение, а значит отрыва пульки не будет. А разгоняющая сила есть пока пружина сжата (закон Гука!), вне зависимости от скорости её концов, как бы и куда бы они ни двигались (при существенно дозвуковых скоростях в материале пружины).

[Amw]

Dmitriy40 в сообщении #1621953 писал(а):

Тогда очевидно нужна масса той "стенки", в которую упирается пружина.

Всё ещё проще - надо знать только массу пули и массу пистолета (вместе с пружиной).
Энергия сжатой пружины распределится между кинетической энергией пули и кинетической энергией пистолета по закону сохранения импульса. То, что пружина после вылета пули продолжит "болтаться" роли не играет.