Ср.-кв. отклонение мат. ожидания у нормального распределения

[Daniiiil]

Combat Zone в сообщении #1619918 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619914 писал(а):

а довольно специфической средней величины, берущейся по разным распределениям

Вот только независимая (повторная) выборка - это набор независимых случайных величин с одним распределением. Мало ли чего под ответ хочется подгонять. Для бесповторных выборок, скажем, дисперсия выборочного среднего другая.

Да, понятно. И в этом специфическом случае в вашем уравнении не будет иметь смысл самое правая часть $\frac{\sigma^2}{m}$, т. к. не будет иметь смысла $\sigma$.

Combat Zone в сообщении #1619918 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619914 писал(а):

$(i)$ в формуле обозначает номер выборки, рассматриваемой в итерации по $i$.

Переведите, пожалуйста. Я уже не понимаю. Что такое номер выборки, рассматриваемой в итерации по $i$?

Combat Zone, вы уже ответили на мой вопрос. Большое вам спасибо! Далее я просто описывал то, как я понимаю решение задачи. Это сугубо опциональный момент)

Но если вы все же хотите до конца добить эту тему, то дело вот в чем. Как я понимаю, когда мы производим вычисление какого-либо показателя (среднее, дисперсия) выборочной оценки из $m$ элементов, мы (условно) берем $n$ таких выборок и т. о. получаем "глобальную выборку" выборок и считаем нужный показатель выборочной оценки, устремляя $n$ к бесконечности. И $i$ - это индекс выборки в "глобальной выборке".

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1619918 писал(а):

И зря вы учите ShMaxG статистике, он сам кого хочешь научит. :) Так что если говорит - неправильно, значит, неправильно.

Да, но математика подразумевает размышление. Не только со стороны учителя, но и со стороны ученика. Но я понимаю, что у ShMaxG очень много опыта и нету времени на подобные дискуссии и потому отсутствие ответа с его стороны не означает его неправоту ни в коем случае))

[ShMaxG]

Daniiiil
У Вас дисперсия -- это какой-то предел, выдуманная формула.

-- Вс ноя 26, 2023 17:07:36 --

Следует различать истинные математическое ожидание, дисперсию и другие моменты (которые являются интегралами по вероятностной мере от функций) и их выборочные оценки, которые считаются по выборкам. У Вас в первом посте как будто бы смешение происходит, Вы смотрите на истинные моменты как на пределы выборочных оценок. В каких-то смыслах это верно (выборочные моменты являются состоятельными оценками истинных моментов, то есть сходятся к истинным значениям по вероятности и почти наверное), но все же надо отличать истинное значение от инструментов его приближения. Кроме того, требуется определенная аккуратность при работе со сходимостью в теории вероятностей: видов сходимости несколько, они разные по смыслу, у них разные свойства, есть условия выполнимости этих свойств, а каких-то привычных свойств сходимости может и не быть.

[Daniiiil]

Combat Zone в сообщении #1619918 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619914 писал(а):

Если да, то почему в книге говорят о "сожалении"?

Они же пишут - эта оценка не является несмещенной. Но для больших объемов выборки сойдет (в силу состоятельности и асимптотической несмещенности).
А чем вызван вопрос? Мне не очень понятно, потому что вы его задаете уже после полученного ответа в книге. Обычно это означает, что что-то понято превратно.

Combat Zone, ОК, т. е. дело действительно в том, что хоть мы изначально вычислили несмещенную дисперсию, но по сути это всего лишь оценка несмещенной дисперсии, но не его истинное значение. Это влечет за собой то, что в итоге по ней мы вычисляем оценку ср.-кв. отклонения (также с некоторой ошибкой отн. истинного значения).

Евгений Машеров в сообщении #1619919 писал(а):

Потому, что, вообще говоря, $M(f(x))\ne f(M(x))$
Матожидание функции случайной величины не обязано быть равным функции от матожидания. Если функция линейна - то равно. В остальных случаях совпасть может лишь случайно.

Евгений Машеров, да, я это понимаю, но ведь вычисляя несмещенную оценку дисперсии мы вычисляем "приближенное" значение истинной дисперсии (это очень условно, т. к. вообще-то оценка может лежать сколь угодно далеко от истинного значения). И далее мы подставляем это "приближенное" значение истинной дисперсии в формулу для вычисления ср.-кв. отклонения выборочного среднего. И т. о. получаем "приближенный" ответ. По-моему, логика правильная. Или нет? Если честно, не могу понять, почему вы сказали про $M(f(x))\ne f(M(x))$.

ShMaxG, да, формулу выдумал, каюсь) Надо будет изучить, как правильно вычислять смещение и дисперсию оценок. Про истинные значения и оценки, а также многочисленность видов сходимости понял. Спасибо.

Combat Zone, ShMaxG, Евгений Машеров, я уже неплохо понял идею оценок! Большое вам спасибо за ваше внимание и время!

(Оффтоп)

Как можно повысить репутацию пользователя на данном форуме?

[Combat Zone]

Daniiiil в сообщении #1619932 писал(а):

Combat Zone, ОК, т. е. дело действительно в том, что хоть мы изначально вычислили несмещенную дисперсию, но по сути это всего лишь оценка несмещенной дисперсии, но не его истинное значение.

Нет. Изначально мы вычислили именно истинное значение дисперсии выборочного среднего. Оно выражается через некоторые теоретические моменты, в нашем случае, через истинную дисперсию генеральной совокупности. Слова, которые говорятся дальше, они вот о чем: поскольку мы не знаем истинной дисперсии ГС, то счастья нам это в дальнейшей жизни не принесет. Единственный способ, который и реализуется на практике - заменять моменты истинные моментами выборочными. То есть в данном случае $\sigma^2$ заменится на выборочную дисперсию - смещенную или несмещенную, а $\sigma$ - на его выборочную оценку, т.е. корень из выборочной дисперсии, той или этой. Без разницы, говорит учебник, обе оценки занижены. Но это единственный способ получить оценку дисперсии выборочного среднего и оценку среднего квадратичного выборочного среднего. Ту самую, которую можно потом использовать в расчетах. И так обычно и делают.

Я дико извиняюсь, что встреваю в вашу тему в очередной раз.

[Daniiiil]

Combat Zone, на этот раз полностью вас понял. Да, извините, в сообщении я тоже имел в виду, что изначально мы вычислили несмещенную выборочную дисперсию, которая все равно отличается от истинной дисперсии. И потому дальнейшее вычисление выборочного ср.-кв. отклонения как корня несмещенной выборочной дисперсии будет иметь ошибку. Соответственно, и вычисление истинного ср.-кв. отклонения выборочного среднего (мне кажется, что слово "выборочного" здесь все-таки нужно) будет с ошибкой. Теперь все верно, да?

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1619936 писал(а):

Я дико извиняюсь, что встреваю в вашу тему в очередной раз.

Я как раз тоже хотел расставить все точки над "i". Поэтому еще раз спасибо вам за ваше драгоценное время.

[Combat Zone]

Просто для лучшего понимания вас, поясните пожалуйста, что есть что здесь. В том порядке, что и у вас.

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

изначально мы вычислили несмещенную выборочную дисперсию,

и чему она равна?

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

все равно отличается от истинной дисперсии

а эта?

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

И потому дальнейшее вычисление выборочного ср.-кв. отклонения как корня несмещенной выборочной дисперсии будет иметь ошибку.

Можно узнать, что вы понимаете здесь под ошибкой?

[Евгений Машеров]

Daniiiil в сообщении #1619932 писал(а):

Евгений Машеров, да, я это понимаю, но ведь вычисляя несмещенную оценку дисперсии мы вычисляем "приближенное" значение истинной дисперсии (это очень условно, т. к. вообще-то оценка может лежать сколь угодно далеко от истинного значения). И далее мы подставляем это "приближенное" значение истинной дисперсии в формулу для вычисления ср.-кв. отклонения выборочного среднего. И т. о. получаем "приближенный" ответ. По-моему, логика правильная. Или нет? Если честно, не могу понять, почему вы сказали про $M(f(x))\ne f(M(x))$.

Несмещённая оценка - это оценка, матожидание которой равно истинному значению. Это не обязательно точная, несмещённость может привести к росту её дисперсии и, во всяком случае, это лишь один из критериев.
При этом можно получить несмещённую оценку дисперсии достаточно просто, чуть скорректировав знаменатель. Но стандартное отклонение, корень из дисперсии, нелинейная функция, и корень из несмещённой оценки дисперсии уже не будет несмещённой оценкой стандартного отклонения. Хотя если оценка дисперсии хорошая - корень будет хорошей оценкой стандартного отклонения. Но не несмещённой.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1619967 писал(а):

При этом можно получить несмещённую оценку дисперсии достаточно просто, чуть скорректировав знаменатель.

Обратное ещё проще: достаточно умножить несмещённую оценку на ноль. Дисперсия оценки будет вообще нулевая, но оценка, разумеется, будет смещена.

[Doctor Boom]

(Оффтоп)

Daniiiil в сообщении #1619932 писал(а):

Как можно повысить репутацию пользователя на данном форуме?

Никак

[Евгений Машеров]

realeugene в сообщении #1619971 писал(а):

Обратное ещё проще: достаточно умножить несмещённую оценку на ноль. Дисперсия оценки будет вообще нулевая, но оценка, разумеется, будет смещена.

(в наивной надежде, что Вы не просто "говорите, чтобы говорить" или желаете "оставить за собой последнее слово")

С практической точки зрения неважно, по какой причине оценка отличается от истинного значения, важна величина отклонения. Это отклонение можно разложить на две ортогональные составляющие, матожидание отклонения и случайное отклонение от матожидания, характеризуемое дисперсией (ещё более грубо-прикладной взгляд - систематическая погрешность и случайная погрешность; ещё в теории ошибок выделяют в особый вид "грубые ошибки", что предмет робастной статистики).
Однако минимизация среднего квадрата отклонения может быть затрудительна, поэтому зачастую разбивают задачу на две части - минимизируя дисперсию в подклассе оценок с нулевым матожиданием отклонения, несмещённых. Что, вообще говоря, даёт худший результат, чем минимизация непосредственно среднего квадрата отклонения, но если у нас есть худшая, но легко получаемая оценка, то приходится использовать её, а не теоретически идеальную, которую получить не можем.
Правда, есть ситуация, когда несмещённость не технический приём, а самоценность - это когда имеем множество оценок, полученных по разным выборкам, объединить их не можем, и вместо этого усредняем эти оценки.
Применительно к оцениванию дисперсии существует три схожих оценки, $\hat{\sigma^2_1}=\frac 1 {n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2$, несмещённая, $\hat{\sigma^2_2}=\frac 1 {n}\sum(x_i-\bar{x})^2$, максимально правдоподобная и $\hat{\sigma^2_3}=\frac 1 {n+1}\sum(x_i-\bar{x})^2$, минимизирующая средний квадрат отклонения (это редкий случай, когда такая оценка получается легко и без привлечения недоступной информации). Вторая и третья, очевидно, смещённые.
Другим примером практически важных смещённых оценок являются "оптимальные винеровские" оценки.
Наконец, в регрессионном анализе требование несмещённости, которому удовлетворяет обычная оценка вида $\hat{a}=(X^TX)^{-1}X^Ty$, при наличии мультиколлинеарности (даже неполной, то есть точной линейной зависимости регрессоров нет, но они скоррелированы) приводит к оценкам, дисперсия которых стремится к бесконечности, и приходится использовать смещённые оценки, хотя бы ридж-регрессию $\hat{a(k)}=(X^TX+kI)^{-1}X^Ty$, и вообще регуляризация, как правило, приводит к смещению.

[Daniiiil]

Евгений Машеров в сообщении #1620004 писал(а):

С практической точки зрения неважно, по какой причине оценка отличается от истинного значения, важна величина отклонения. Это отклонение можно разложить на две ортогональные составляющие, матожидание отклонения и случайное отклонение от матожидания, характеризуемое дисперсией (ещё более грубо-прикладной взгляд - систематическая погрешность и случайная погрешность; ещё в теории ошибок выделяют в особый вид "грубые ошибки", что предмет робастной статистики).
Однако минимизация среднего квадрата отклонения может быть затрудительна, поэтому зачастую разбивают задачу на две части - минимизируя дисперсию в подклассе оценок с нулевым матожиданием отклонения, несмещённых. Что, вообще говоря, даёт худший результат, чем минимизация непосредственно среднего квадрата отклонения, но если у нас есть худшая, но легко получаемая оценка, то приходится использовать её, а не теоретически идеальную, которую получить не можем.
Правда, есть ситуация, когда несмещённость не технический приём, а самоценность - это когда имеем множество оценок, полученных по разным выборкам, объединить их не можем, и вместо этого усредняем эти оценки.
Применительно к оцениванию дисперсии существует три схожих оценки, $\hat{\sigma^2_1}=\frac 1 {n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2$, несмещённая, $\hat{\sigma^2_2}=\frac 1 {n}\sum(x_i-\bar{x})^2$, максимально правдоподобная и $\hat{\sigma^2_3}=\frac 1 {n+1}\sum(x_i-\bar{x})^2$, минимизирующая средний квадрат отклонения (это редкий случай, когда такая оценка получается легко и без привлечения недоступной информации). Вторая и третья, очевидно, смещённые.
Другим примером практически важных смещённых оценок являются "оптимальные винеровские" оценки.
Наконец, в регрессионном анализе требование несмещённости, которому удовлетворяет обычная оценка вида $\hat{a}=(X^TX)^{-1}X^Ty$, при наличии мультиколлинеарности (даже неполной, то есть точной линейной зависимости регрессоров нет, но они скоррелированы) приводит к оценкам, дисперсия которых стремится к бесконечности, и приходится использовать смещённые оценки, хотя бы ридж-регрессию $\hat{a(k)}=(X^TX+kI)^{-1}X^Ty$, и вообще регуляризация, как правило, приводит к смещению.

Евгений Машеров, про 2 разных вида смещенных дисперсий интересно, спасибо. По части приложений к винеровским процессам и регрессионному анализу не совсем понял, т. к. пока не знаю этих областей. Но все равно заинтриговали)

-- 28.11.2023, 07:52 --

Евгений Машеров в сообщении #1619967 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619932 писал(а):

Евгений Машеров, да, я это понимаю, но ведь вычисляя несмещенную оценку дисперсии мы вычисляем "приближенное" значение истинной дисперсии (это очень условно, т. к. вообще-то оценка может лежать сколь угодно далеко от истинного значения). И далее мы подставляем это "приближенное" значение истинной дисперсии в формулу для вычисления ср.-кв. отклонения выборочного среднего. И т. о. получаем "приближенный" ответ. По-моему, логика правильная. Или нет? Если честно, не могу понять, почему вы сказали про $M(f(x))\ne f(M(x))$.

Несмещённая оценка - это оценка, матожидание которой равно истинному значению. Это не обязательно точная, несмещённость может привести к росту её дисперсии и, во всяком случае, это лишь один из критериев.
При этом можно получить несмещённую оценку дисперсии достаточно просто, чуть скорректировав знаменатель. Но стандартное отклонение, корень из дисперсии, нелинейная функция, и корень из несмещённой оценки дисперсии уже не будет несмещённой оценкой стандартного отклонения. Хотя если оценка дисперсии хорошая - корень будет хорошей оценкой стандартного отклонения. Но не несмещённой.

Понял вас. Т. е. если мы организуем ряд экспериментов по определению ср.-кв. отклонения выборочного среднего заданной СВ по выборке из $m$ его значений и в каждом эксперименте будем брать корень из несмещенной оценки дисперсии, то в среднем мы будем брать корень из истинной дисперсии, но само значение корня в среднем будет смещенным отн. истинного значения ср.-кв. отклонения СВ. Соответственно, когда мы будем вычислять ср.-кв. отклонение выборочного среднего, используя этот корень (оценку ср.-кв. отклонения СВ), то и здесь в среднем будем иметь отклонение от истинного значения. Спасибо за подробное объяснение, Евгений Машеров!

-- 28.11.2023, 08:01 --

Combat Zone в сообщении #1619946 писал(а):

Просто для лучшего понимания вас, поясните пожалуйста, что есть что здесь. В том порядке, что и у вас.

Да, понимаю, почему вы меня экзаменуете) Ведь очень легко запутаться в понятиях, "похожих на слух". Например, "истинная" легко спутать с "несмещенная", хотя это очень разные вещи.

Combat Zone в сообщении #1619946 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

изначально мы вычислили несмещенную выборочную дисперсию,

и чему она равна?

$\hat{\sigma^2}_m = \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2$

Combat Zone в сообщении #1619946 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

все равно отличается от истинной дисперсии

а эта?

$\sigma^2$

Combat Zone в сообщении #1619946 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1619943 писал(а):

И потому дальнейшее вычисление выборочного ср.-кв. отклонения как корня несмещенной выборочной дисперсии будет иметь ошибку.

Можно узнать, что вы понимаете здесь под ошибкой?

Под ошибкой имел в виду наличие разницы (боюсь использовать слово "отклонение" ) между вычисленным выборочным ср.-кв. отклонением СВ и его истинным значением.

-- 28.11.2023, 08:15 --

Вообще, интересно, что сами выборочные оценки мы можем вычислить по разному. Например, мы можем вычислить дисперсию:
А) "в лоб", т. е. вычислить смещенную выборочную дисперсию.
Б) "по-умному", т. е. вычислить несмещенную дисперсию.

При этом когда говорится "выборочное", на первый взгляд это должно означать, что мы делаем операцию "в лоб". Но нет, здесь мы можем задаться какими-то критериями по поведению этого "выборочного" и потому и возникают варианты А и Б.

В случае вычисления выборочного ср.-кв. отклонения дела обстоят еще интереснее, ведь мы можем вычислить его:
А2) "в лоб", т. е. через смещенную выборочную дисперсию.
Б2) "по-умному", т. е. через несмещенную дисперсию.
В2) "по-очень-умному", т. е. учесть, что вариант Б2 все равно будет занижен и найти / выдумать какой-то др. способ. Если именно "выдумать", то можно попробовать пойти по формуле $\hat{\sigma}_{very-smart} = \sqrt{\frac{1}{m - 2}\sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2}$. Прошу обратить внимание, что в начале формулы в знаменателе именно $-2$.

Может даже найтись даже такой способ вычисления выборочного ср.-кв. отклонения, который не будет зависеть от выборочной (и уж тем более истинной ) дисперсии.

Вариант В2 предполагает, что для каких-то выборочных оценок могут быть 2 формулы, каждая из которых соответствует некоторому способу выч. истинного параметра распределения по др. истинным параметрам этого же распределения. И т. к. разные параметры распределения имеют разные смещения, то от способа вычисления выборочной оценки зависит ее смещение.

[Combat Zone]

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

Да, понимаю, почему вы меня экзаменуете) Ведь очень легко запутаться в понятиях, "похожих на слух". Например, "истинная" легко спутать с "несмещенная", хотя это очень разные вещи.

Нет, не понимаете. Вы пишете дисперсия (или с.к.о.), но не пишете чего. В результате непонятно, о чем ваш текст. Если спрашивать вас каждый раз уточнения - вы это тоже поймете как придирку. Потому самое надежное - узнать формулу, тем более, что вы до сих пор ни одной не написали. Все же хочется понимать, о чем вы пишете и насколько мы об одном и том же говорим.

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

$\hat{\sigma^2}_m = \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2$

$\hat{\sigma^2}_m = \frac{1}{m-1} \sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2$, если уж прям хочется несмещенную.

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

"по-очень-умному", т. е. учесть, что вариант Б2 все равно будет занижен и найти / выдумать какой-то др. способ. Если именно "выдумать", то можно попробовать пойти по формуле $\hat{\sigma}_{very-smart} = \sqrt{\frac{1}{m - 2}\sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2}$

Выше было, что

Евгений Машеров в сообщении #1619919 писал(а):

Точного выражения для несмещённой оценки стандартного отклонения, не зависящего от вида распределения, не существует. В него непременно входят, в силу нелинейности, моменты высших порядков. Есть формула поправки для нормального, через гамма-функцию, есть приближение для распределения с известным эксцессом
$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac 1 {n-1.5-\frac 1 4 \gamma_2}\Sum(x_i-\bar{x})^2}$
Где $\gamma_2$ - эксцесс распределения, для нормального=0.

Так что "выдумать" получится, может быть. Если знать распределение. Минус два тоже не панацея.

С другой стороны, большой необходимости на практике в точной оценке SEM (standart error of the mean) не должно возникать, по крайней мере, для больших объемов выборки, т.к. выборочное среднее асимптотически нормально, т.е. с помощью ЦПТ достаточно точно оцениваются его интервальные оценки.

[Daniiiil]

Combat Zone в сообщении #1620171 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

Да, понимаю, почему вы меня экзаменуете) Ведь очень легко запутаться в понятиях, "похожих на слух". Например, "истинная" легко спутать с "несмещенная", хотя это очень разные вещи.

Нет, не понимаете. Вы пишете дисперсия (или с.к.о.), но не пишете чего. В результате непонятно, о чем ваш текст. Если спрашивать вас каждый раз уточнения - вы это тоже поймете как придирку. Потому самое надежное - узнать формулу, тем более, что вы до сих пор ни одной не написали. Все же хочется понимать, о чем вы пишете и насколько мы об одном и том же говорим.

Точно. Об этом тоже думал, но старался избегать длинных текстов, которые по сути являются лишь названием . Раз использование долгих названий терминов - это нормально, то именно так и буду делать, чтобы все было однозначно.

Combat Zone в сообщении #1620171 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

$\hat{\sigma^2}_m = \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2$

$\hat{\sigma^2}_m = \frac{1}{m-1} \sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2$, если уж прям хочется несмещенную.

Точно)

Combat Zone в сообщении #1620171 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1620139 писал(а):

"по-очень-умному", т. е. учесть, что вариант Б2 все равно будет занижен и найти / выдумать какой-то др. способ. Если именно "выдумать", то можно попробовать пойти по формуле $\hat{\sigma}_{very-smart} = \sqrt{\frac{1}{m - 2}\sum\limits_{i = 1}^{m}(x_i - \hat{\mu}_m)^2}$

Выше было, что

Евгений Машеров в сообщении #1619919 писал(а):

Точного выражения для несмещённой оценки стандартного отклонения, не зависящего от вида распределения, не существует. В него непременно входят, в силу нелинейности, моменты высших порядков. Есть формула поправки для нормального, через гамма-функцию, есть приближение для распределения с известным эксцессом
$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac 1 {n-1.5-\frac 1 4 \gamma_2}\Sum(x_i-\bar{x})^2}$
Где $\gamma_2$ - эксцесс распределения, для нормального=0.

Так что "выдумать" получится, может быть. Если знать распределение. Минус два тоже не панацея.

Да, я как раз имел в виду, что в новой формуле для выборочной дисперсии СВ будет учитываться тип распределения и будут использоваться параметры распределения.

Combat Zone, Евгений Машеров, раз в конечном счете все зависит от выбора распределения, то получается, что та формула с эксцессом применима лишь к некоторым распределениям, а для других распределений все-таки имеет ощутимую погрешность? Если прикинуть, насколько разнообразными могут быть графики распределений при одном и том же эксцессе, то получается, что так.

А про $-2$ я практически пошутил)) Было бы круто найти такие распределения, для которых это бы реально работало, т. е. уменьшало смещенность оценки с.к.о. СВ. Но не исключаю, что как минимум в некоторых случаях эта формула с $-2$ может дать даже завышенный результат)

[Евгений Машеров]

Для несмещённой оценки дисперсии - "просто повезло". В силу квадратичности задача может быть рассмотрена, как геометрическая и на нас работает лично Пифагор. Поэтому в знаменателе выражения для оценки дисперсии оказывается попросту размерность подпространства, которому принадлежат отклонения от среднего, а поскольку у нас ровно одно ограничение на них, их сумма нулевая, то размерность $n-1$. И от распределения это не зависит, лишь бы дисперсия вообще существовала бы. А вот когда мы рассматриваем некоторое нелинейное преобразование - допустим, мы его приближаем рядом Тейлора, появляются квадратичные, кубичные и т.п. члены, и в выражения для их матожиданий должны входит моменты высшего порядка, а они уже от вида распределения очень зависят.