Аддитивная арифметическая функция

[vicvolf]

Уважаемые участники форума!
Можете привести пример аддитивной арифметической функции $f$, у которой значение $f(p)$ неограниченно, а ряд $\sum_p {\frac {f(p)}{p}}$ - сходился?
У меня не получается. Например, $f(n)=\ln {\frac {1}{n}}$ значение $\ln {\frac {1}{p}} \to -\infty$ при $p \to \infty$, но ряд $\sum_p {\frac {\ln(1/p)}{p}}=-\sum_p {\frac {\ln(p)}{p}}= - \infty$.

[realeugene]

vicvolf в сообщении #1619424 писал(а):

аддитивной арифметической функции

Это что?

[mihaild]

У вас значения и ряд берутся по простым числам?
Тогда можно её вообще произвольным образом задать на простых числах, всегда получится продолжить аддитивным образом. Соответственно, берете быстро растущую последовательность простых чисел, говорите, что на ней функция растет, но медленно, а на всех остальных простых числах - вообще ноль.

realeugene, аддитивная функция - функция, такая что $f(xy) = f(x) + f(y)$, если $x$ и $y$ взаимно просты.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1619427 писал(а):

У вас значения и ряд берутся по простым числам?

Да

Цитата:

Тогда можно её вообще произвольным образом задать на простых числах, всегда получится продолжить аддитивным образом. Соответственно, берете быстро растущую последовательность простых чисел, говорите, что на ней функция растет, но медленно, а на всех остальных простых числах - вообще ноль.

Обозначим $p_k$- $k$-ое простое число. Пусть, если $n=p_k$, то $f(n)=\ln p_k$, в противном случае $f(n)=0$. Пусть $k=m^2$, где $m=1,2,...$. В этом случае последовательность $\ln p_k \to \infty$, но имеет мощность ноль по сравнению с мощностью простых чисел, поэтому $\sum_p \frac {\ln(p)}{p}=\sum_{p_k} \frac {\ln(p_k)}{p_k}< \infty$. Правильно?

[mihaild]

Идея вроде правильна, формулировка странная. И можно чуть проще.
Пусть $p_k$ - нумерация простых чисел, $m_i$ - минимальное число, такое что $p_{m_i} > 2^i$. Тогда скажем, что $f(p_{m_i}) = i$, на остальных простых числах и степенях $f$ равна нулю, далее продолжим по аддитивности. Тогда $\sum_p \frac{f(p)}{p} = \sum_i \frac{f(p_{m_i})}{p_{m_i}} \leq \sum_i \frac{i}{2^i}$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1619521 писал(а):

Идея вроде правильна, формулировка странная. И можно чуть проще.
Пусть $p_k$ - нумерация простых чисел, $m_i$ - минимальное число, такое что $p_{m_i} > 2^i$. Тогда скажем, что $f(p_{m_i}) = i$, на остальных простых числах и степенях $f$ равна нулю, далее продолжим по аддитивности. Тогда $\sum_p \frac{f(p)}{p} = \sum_i \frac{f(p_{m_i})}{p_{m_i}} \leq \sum_i \frac{i}{2^i}$.

$p^2_{m_i} > 2^{i+1}$ и $f(p^2_{m_i}) = i+1$

[Null]

vicvolf в сообщении #1619735 писал(а):

Что значит продолжим по аддитивности?

Аддитивная функция должна быть определена на всех натуральных числах. Продолжить значит доопределить, так чтобы свойство $f(ab)=f(a)+f(b)$ выполнялось для взаимно простых $a,b$.

-- Сб ноя 25, 2023 11:32:01 --

vicvolf в сообщении #1619735 писал(а):

$f(p^2_{m_i}) = i+1$

Оно в вашей сумме не участвует. Но можно его установить любым числом.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1619521 писал(а):

Пусть $p_k$ - нумерация простых чисел, $m_i$ - минимальное число, такое что $p_{m_i} > 2^i$. Тогда скажем, что $f(p_{m_i}) = i$, на остальных простых числах и степенях $f$ равна нулю, далее продолжим по аддитивности. Тогда $\sum_p \frac{f(p)}{p} = \sum_i \frac{f(p_{m_i})}{p_{m_i}} \leq \sum_i \frac{i}{2^i}$.

Сказано, что на остальных простых числах и степенях значение $f$ равно 0. Очевидно значения $f$ в степенях $p_{m_i}$ предлагается продолжить по аддитивности. Например, если продолжить, как $f(p^k_{m_i})=i$, то получим сильно аддитивную арифметическую функцию. Если продолжить, как я, $f(p^k_{m_i})=i+k-1$ или $f(p^k_{m_i})=0$, то будет просто аддитивная.
Можно было не указывать фразу про аддитивное продолжение и тогда, как я написал:

vicvolf в сообщении #1619735 писал(а):

$p^2_{m_i} > 2^{i+1}$ и $f(p^2_{m_i}) = i+1$

и получаем аддитивную арифметическую функцию с $f(p^k_{m_i})=i+k-1$.

Null в сообщении #1619737 писал(а):

vicvolf в сообщении #1619735 писал(а):

$f(p^2_{m_i}) = i+1$

Оно в вашей сумме не участвует.

Поэтому сумма не меняется в зависимости от аддитивного продолжения:

mihaild в сообщении #1619521 писал(а):

$\sum_p \frac{f(p)}{p} = \sum_i \frac{f(p_{m_i})}{p_{m_i}} \leq \sum_i \frac{i}{2^i}$.