Повepхнoсть и интеграл.

[reformator]

Вычиcлить плoщaдь чacти пoвepхнoсти $z=9-y^2$, которая выpeзaeтcя пoвepхнocтями $z=0$ и $x^2-4y^2=1$.

Помогите, пожалуйста, здесь понять.

Я понимаю, что поверхность $z=9-y^2$ выглядит как растянутая парабола вдоль оси $x$. А вырезаются части плоскостью и гиперболой, вытянутой вдоль оси $z$. Визуально я представляю две симметричные части, которые верезаются. Можно найти площадь одной из них и умножить на 2. В проекции на плоскость $(z,x)$ получаем параболу. Можно это вычислениями сделать $4y^2=x^2-1$, значит $z=9-0,25(x^2-1)$. В проекции на плоскость $z=0$ получаем 4 прямые $y=\pm 3$ и $x=\pm \sqrt{37}$.

Но как это может помочь вычислить площадь поверхности - не представляю.

[Combat Zone]

Ну никак. Пока вы не вспоминаете, как считается площадь поверхности - а вы не вспоминаете, - ничто вам не поможет.
Слова "поверхностный интеграл" ни о чем не говорят?

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619011 писал(а):

Ну никак. Пока вы не вспоминаете, как считается площадь поверхности - а вы не вспоминаете, - ничто вам не поможет.
Слова "поверхностный интеграл" ни о чем не говорят?

Спасибо большое!

$\iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy$

$ \iint_D (9-y^2) \sqrt{1 + 0^2 + \left(-2\right)^2} \, dx \, dy=\sqrt{5}\iint_D (9-y^2) \, dx \, dy$

Область $D$ будет задаваться так $x^2-4y^2=1$, но ведь нужы явно еще и другие ограничения, ибо этих мало.

Наверное $z=9-y^2$ и $z=0$ вместе дают ограничения $y=\pm 3$

И тогда у нас получается замкнутая область. И по ней уже нужно вычислять двойной интеграл. Правильные ли рассуждения?



-- 21.11.2023, 13:18 --

Combat Zone в сообщении #1619011 писал(а):

Ну никак. Пока вы не вспоминаете, как считается площадь поверхности - а вы не вспоминаете, - ничто вам не поможет.
Слова "поверхностный интеграл" ни о чем не говорят?

Спасибо большое!

$\iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy$

$ \iint_D (9-y^2) \sqrt{1 + 0^2 + \left(-2\right)^2} \, dx \, dy=\sqrt{5}\iint_D (9-y^2) \, dx \, dy$

Область $D$ будет задаваться так $x^2-4y^2=1$, но ведь нужы явно еще и другие ограничения, ибо этих мало.

Наверное $z=9-y^2$ и $z=0$ вместе дают ограничения $y=\pm 3$

И тогда у нас получается замкнутая область. И по ней уже нужно вычислять двойной интеграл. Правильные ли рассуждения?

[Combat Zone]

Поверхностный интеграл составлен неверно. А область - да, такая, если я вас правильно понимаю. Исправьте, продолжите, будет видно.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619049 писал(а):

Поверхностный интеграл составлен неверно. А область - да, такая, если я вас правильно понимаю. Исправьте, продолжите, будет видно.

Спасибо. Имелось ввиду пересечение красной и синей областей, верно ведь?


$ \iint_D (9-y^2) \sqrt{1 + 0^2 + \left(-2y\right)^2} \, dx \, dy=\iint_D (9-y^2) \sqrt{1 +4y^2} \, dx \, dy$

Так уже лучше?

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619051 писал(а):

Имелось ввиду пересечение красной и синей областей, верно ведь?

Да.

reformator в сообщении #1619051 писал(а):

Так уже лучше?

Метод последовательных приближений - это сильно :)
Лучше. Но неверно. Посмотрите, как площади считаются.

[redicka]

Картинка в помощь. Ой, не восьми, а четырем.
https://ibb.co/ZB6Z28q

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619054 писал(а):

Метод последовательных приближений - это сильно :)
Лучше. Но неверно. Посмотрите, как площади считаются.

Спасибо. Что-то я затупил, конечно) Зачем я поставил $z$ вместо той функции $f(x,y,z)=1$ для вычисления площади - сам не понимаю Теперь уже лучше?

$ \iint_D \sqrt{1 + 0^2 + \left(-2y\right)^2} \, dx \, dy=\iint_D \sqrt{1 +4y^2} \, dx \, dy$

-- 21.11.2023, 14:08 --

redicka в сообщении #1619056 писал(а):

Картинка в помощь. https://ibb.co/ZB6Z28q

Спасибо!

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619057 писал(а):

Теперь уже лучше?

Теперь нормально. Пока.

[Утундрий]

Combat Zone в сообщении #1619061 писал(а):

Теперь нормально. Пока.

Если ничего не трогать, то и останется нормально.

[Combat Zone]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1619062 писал(а):

Если ничего не трогать, то и останется нормально.

поэтому пока )

[reformator]

Получается, что нужно вычислить такой интеграл $\displaystyle\iint_D (9-y^2) \sqrt{1 +4y^2} \, dx \, dy$, как мы с Вами определились по области задающейся пересечением внутренности полосы синей и розово-красной области между ветками гиперболы

Исходную область можно разбить на 4 части, в каждой из 4 четвертей. Можно посчитать по первой четверти и умножить результат на 4.
Внутри первой четверти я разбил на красную и черную область. Возникла проблема с интегрированием по красной области внутри первой четверти, так как там возник неберущийся интеграл. Может я что-то не так делаю? Назовем красную область $D_1$. Если что-то нужно описать детальнее, я это могу сделать=)

$\displaystyle\iint_{D_1} (9-y^2) \sqrt{1 +4y^2} \, dx \, dy=\displaystyle\int_1^{\sqrt{37}}dx\displaystyle\int_{\frac{\sqrt{x^2-1}}{2}}^3 \sqrt{1 +4y^2}dy$

$$\displaystyle\int_{\frac{\sqrt{x^2-1}}{2}}^3 \sqrt{1 +4y^2}dy=0,25x\sqrt{x^2-1}+0,25\ln\left|\sqrt{x^2-1}+x\right|-\dfrac{3\sqrt{37}}{2}-0,25\ln\left|6+\sqrt{37}\right|+C(x)$$

Но далее вот это интеграл не получается вычислить $\displaystyle\int \ln\left|\sqrt{x^2-1}+x\right| dx$

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619531 писал(а):

Получается, что нужно вычислить такой интеграл $\displaystyle\iint_D (9-y^2) \sqrt{1 +4y^2} \, dx \, dy$,

Определитесь уже с интегралом. У вас функции меняются, как сигнал светофора.
И поменяйте порядок интегрирования.

reformator в сообщении #1619531 писал(а):

Но далее вот это интеграл не получается вычислить $\displaystyle\int \ln\left|\sqrt{x^2-1}+x\right| dx$

Интеграл берущийся, но зачем устраивать себе двойную работу.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619564 писал(а):

Определитесь уже с интегралом. У вас функции меняются, как сигнал светофора.
И поменяйте порядок интегрирования.

Все теперь получилось, спасибо большое, вышло 156.