Найти все f(x), замкнутые на R, из данного ф-го уравнения

[f2498985]

Подскажите, пожалуйста, решение проблемы.

Дано функциональное уравнение

$f(x + |y|) = 2 |y| + f(x - |y|)$

нужно найти все $f(x)$, если $f(x)$ берёт аргументы и возвращает значения из $\mathbb R$, области действительных чисел.

[Ende]

Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не "все f(x)", а "все $f(x)$, не "из R", а "из $\mathbb R$". В этот раз в карантин не понесу, в следующий - обязательно.

[mihaild]

Подставьте $x = |y|$.

[f2498985]

mihaild в сообщении #1616339 писал(а):

Подставьте $x = |y|$.

Подскажите, почему именно этот случай интересен?
$f(|y| + |y|) = 2 |y| + f(|y| - |y|)$
$f(2|y|) = 2|y|$

Как я понимаю, нельзя вынести из-под применения функции 2-ку, т.к. мы ничего не знаем о f.

[mihaild]

Вообще к моменту появления таких упражнений навыки базовых манипуляций с функциями уже должны быть. Подставьте $y = \frac{z}{2}$.

[dgwuqtj]

А куда $f(0)$ пропало?

[f2498985]

dgwuqtj в сообщении #1616347 писал(а):

А куда $f(0)$ пропало?

Итак, есть 2 подсказки-подстановки: $x = |y|$ и $x = 0$. Обе они привели к
$f(|y|) = |y|$, чему-то наподобие функции identity в функциональных языках программирования - функцию, возвращающую аргумент. Почему именно эти 2 подстановки?

Т.е. как полностью решить задачу?

[dgwuqtj]

Так не привели, у вас в вычислениях ошибка. А так подумайте, что ещё подставить, чтобы что-то упростить.

[f2498985]

dgwuqtj в сообщении #1616358 писал(а):

Так не привели, у вас в вычислениях ошибка. А так подумайте, что ещё подставить, чтобы что-то упростить.

Если рассматривать случаи $x = |y|$ и $x = 0$, то независимо приходим к $f(|y|) = |y|$. Подскажите, это - верно?

[mihaild]

Нет, не приходим. Подставьте $x = |y|$, только на этот раз без ошибок.

[f2498985]

mihaild в сообщении #1616367 писал(а):

Нет, не приходим. Подставьте $x = |y|$, только на этот раз без ошибок.

Подскажите,

$f(|y| + |y|) = 2|y| + f(|y| - |y|)$
$f(2|y|) = 2|y| +f(0)$

[Mikhail_K]

Ну вот. Теперь предположите, чему равно $f(x)$ при любом $x$, исходя из последнего равенства.
Можете ответить на вопрос сначала только для $x\geq 0$, а потом уже для всех $x\in\mathbb{R}$.

[f2498985]

Mikhail_K в сообщении #1616372 писал(а):

Ну вот. Теперь предположите, чему равно $f(x)$ при любом $x$, исходя из последнего равенства.
Можете ответить на вопрос сначала только для $x\geq 0$, а потом уже для всех $x\in\mathbb{R}$.

Вы тонко намекаете, что нет зависимости от $x$ вообще?

[Mikhail_K]

f2498985 в сообщении #1616374 писал(а):

Вы тонко намекаете, что нет зависимости от $x$ вообще?

Нет, на это я не намекаю.
Наоборот, если бы $f(x)$ не зависела от своего аргумента (т.е. если значение функции $f$ при любом аргументе было бы одним и тем же), равенство $f(2|y|) = 2|y| +f(0)$ было бы невозможно. Потому что тогда при разных $y$ левая часть была бы одной и той же, а правая часть принимала бы различные значения.

[f2498985]

Mikhail_K в сообщении #1616376 писал(а):

f2498985 в сообщении #1616374 писал(а):

Вы тонко намекаете, что нет зависимости от $x$ вообще?

Нет, на это я не намекаю.
Наоборот, если бы $f(x)$ не зависела от своего аргумента (т.е. если значение функции $f$ при любом аргументе было бы одним и тем же), равенство $f(2|y|) = 2|y| +f(0)$ было бы невозможно. Потому что тогда при разных $y$ левая часть была бы одной и той же, а правая часть принимала бы различные значения.

Я написал глупость, извиняюсь.

-- 05.11.2023, 23:01 --

Mikhail_K в сообщении #1616372 писал(а):

Ну вот. Теперь предположите, чему равно $f(x)$ при любом $x$, исходя из последнего равенства.
Можете ответить на вопрос сначала только для $x\geq 0$, а потом уже для всех $x\in\mathbb{R}$.

Подскажите, пожалуйста, из чего можно выразить $f(x)$