Предел (n!/n^n)^(1/n)

[artempalkin]

Это Кудрявцев 1 том, 8 параграф, 252 (1)

Найти:
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

Можно применить теорему Штольца после логарифмирования:
$\lim\frac{\ln\frac{n!}{n^n}}n=\lim\left(\ln\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}-\ln\frac{n!}{n^n}\right)=\lim\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\ln\frac 1e=-1$, и в итоге предел будет $\frac 1e$ (такой же результат получится, если применить формулу Стирлинга). Но в этом решении есть как минимум две проблемы:
1) мы к этому моменту строго говоря еще не знаем про непрерывность логарифма и экспоненты, а логарифмируя и потенцируя, мы по сути пользуемся их непрерывностью;
2) мы еще не знаем теорему Штольца! в Кудрявцеве следующая задача - доказать эту теорему (253), что как бы жирно намекает, что ее использовать в задаче 252 нехорошо...

Подскажите, что можно сделать?

[Null]

Предел средних геометрических.

[Padawan]

Обозначим $x_n=\frac{n! }{n^n}$. Из того, что $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{e}$ следует, что для любого $\varepsilon>0$ выполнено $\left(\frac{1}{e}-\varepsilon\right)^n<x_n<\left(\frac{1}{e}+\varepsilon\right)^n$ при $n>N(\varepsilon)$. Извлечем корень степени $n$ .

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1615391 писал(а):

Обозначим $x_n=\frac{n! }{n^n}$. Из того, что $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{e}$ следует, что для любого $\varepsilon>0$ выполнено $\left(\frac{1}{e}-\varepsilon\right)^n<x_n<\left(\frac{1}{e}+\varepsilon\right)^n$ при $n>N(\varepsilon)$. Извлечем корень степени $n$ .

В целом вполне гениально и вообще отсюда получается, что если $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to A>0$, то $\sqrt[n]{x_n}\to A$, если я правильно все понял. Но только все же не совсем так сильно, как вы описали, кажется.
Если $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to A$, то $\left(A-\varepsilon\right)x_n<x_{n+1}<\left(A+\varepsilon\right)x_n$, начиная с некоторого номера $N$, а значит $\left(A-\varepsilon\right)^{n-N}x_N<x_{n}<\left(A+\varepsilon\right)^{n-N}x_N$. Вот теперь если взять корень n-ной степени с обоих сторон и рассмотреть предел, то получится нужное выражение. Так ведь?

-- 31.10.2023, 11:43 --

слушайте, а не это ли давно потерянное доказательство того, что в случае рядов признак Коши сильнее признака Даламбера?

[Padawan]

Я еще один промежуточный шаг сделал: пусть $y_n=\frac{x_n}{(1/e+\varepsilon) ^n}$. Тогда $\lim\frac{y_{n+1}}{y_n}<1$, а значит, $\lim y_n=0$.