Можно ли изобрести “супертопологию”?

[B3LYP]

Если бы во Флатляндии жили двумерные существа, возможно они могли бы изобрести топологию, и экспериментально определить, является ли их мир односвязным (“шарообразным”) или многосвязным (“торообразным”). Не можем ли мы аналогично придумать “супертопологию” и определить экспериментально что-то важное о нашей вселенной?
Попробую сформулировать свою мысль. При переходе от одномерных бран к двумерным, трехмерным и так далее, они начинают обладать всё новыми свойствами. У одномерных бран есть только одна характеристика – кривизна, плюс вся брана может быть замкнутой, а может и не быть. При переходе к двумерным бранам кривизна никуда не девается, хотя она становится двумерной; и плюс к этому, браны могут “скручиваться”, т.е. появляется наука топология и такие характеристики, как связность и род (я пока не разобрался, в чём разница между этими свойствами).
Может быть, при переходе к трехмерным бранам у них появляются какие-то принципиально новые свойства и характеристики?

[diletto]

B3LYP в сообщении #1608357 писал(а):

браны могут “скручиваться”

Я бы присоединился к вопросу. Хотя бы в его в его малой части - о кручении.
Если берём бумажную ленту и закручиваем её штопорообразно, то кривизна её остаётся нулевой. Скрученная лента - подмножество цилиндра. Следует ли отсюда, что скрученность не является никакой (интересной) характеристикой поверхности? Возможно, под этим словом принято понимать нечто совсем другое, чем я описал?

[Mikhail_K]

B3LYP
Из Вашего сообщения кажется, что, по-Вашему, топология изучает только двумерные многообразия (а для трёхмерных нужна "супертопология"). Нет, топология изучает многообразия любой размерности.

B3LYP в сообщении #1608357 писал(а):

Может быть, при переходе к трехмерным бранам у них появляются какие-то принципиально новые свойства и характеристики?

Понятно, что трёхмерные многообразия гораздо сложнее и разнообразнее двумерных. Есть большая теория таких многообразий. Посмотрите страницы в Википедии "трёхмерная топология", "трёхмерное многообразие" - на них есть ссылки на хорошие и не очень сложные книги по этой теме.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: математики не ожидается.

[diletto]

Mikhail_K в сообщении #1608359 писал(а):

Понятно, что трёхмерные многообразия гораздо сложнее и разнообразнее двумерных. Есть большая теория таких многообразий.

Я бы всё-таки попробовал спросить повторно (поясняя мысль топикстартера, как я ее понял на частном примере): есть ли существенная _топологическая_ характеристика, имеющая связь с кручением (возможно, расширение или обобщение того кручения, которое характеризует даже и одномерную пространственную кривую)?

[пианист]

Формула Гаусса - Бонне?

[B3LYP]

Mikhail_K в сообщении #1608359 писал(а):

Понятно, что трёхмерные многообразия гораздо сложнее и разнообразнее двумерных. Есть большая теория таких многообразий. Посмотрите страницы в Википедии "трёхмерная топология", "трёхмерное многообразие" - на них есть ссылки на хорошие и не очень сложные книги по этой теме.

Пытался почитать, к сожалению мне совсем не понятно, и как-то не стыкуется с тем что я читал раньше. Английская википедия пишет, что у двумерных многообразий есть следующие характеристики: число Эйлера, orientability, три числа Бетти и торсионный коэффициент. Где здесь связность и род? Какие из этих характеристик есть у трехмерных многообразий, какие появляются ещё?

[B3LYP]

Видео про теорию узлов (knot theory):

https://youtu.be/8DBhTXM_Br4

Если я правильно понимаю, теория узлов это раздел топологии. Кто-нибудь пробовал разработать теорию узлов для четырёхмерного пространства?

[Geen]

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

Если я правильно понимаю, теория узлов это раздел топологии.

А если неправильно?

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

Кто-нибудь пробовал разработать теорию узлов для четырёхмерного пространства?

Вы имеете ввиду "снял видеоролик в четырёхмерном пространстве"?

[Anton_Peplov]

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

теория узлов это раздел топологии

Да.

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

Кто-нибудь пробовал разработать теорию узлов для четырёхмерного пространства?

Теория узлов разрабатывается для пространств разных размерностей. ЕМНИП, в пространствах высоких размерностей проблема классификации узлов оказывается проще, чем в трехмерном.

[Leeb]

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

Видео про теорию узлов (knot theory):

https://youtu.be/8DBhTXM_Br4

Если я правильно понимаю, теория узлов это раздел топологии. Кто-нибудь пробовал разработать теорию узлов для четырёхмерного пространства?

Любые одномерные узлы (т.е. вложения окружности, для начала хотя бы гладкие или кусочно-линейные) в $R^4$ развязываются (изотопно вложению незаузленной "круглой" окружности), и вообще, любое зацепление (вложение конечного набора непересекающихся окружностей) изотопно тривиальному (т.е. набору из незаузленных окружностей, отделимых друг от друга набором гиперплоскостей). Есть и более общий результат для вложений любых многообразий в любые многообразия достаточно большой размерности. Естественно, вы не будете с этим разбираться, как и в любой из ваших ранее созданных тем. (Здесь надо начинать с того какую именно эквивалентность вложений хотим рассматривать, они разные бывают с разными исходами).

Anton_Peplov в сообщении #1613038 писал(а):

Теория узлов разрабатывается для пространств разных размерностей. ЕМНИП, в пространствах высоких размерностей проблема классификации узлов оказывается проще, чем в трехмерном.

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

теория узлов это раздел топологии

Да.

B3LYP в сообщении #1613034 писал(а):

Кто-нибудь пробовал разработать теорию узлов для четырёхмерного пространства?

Теория узлов разрабатывается для пространств разных размерностей. ЕМНИП, в пространствах высоких размерностей проблема классификации узлов оказывается проще, чем в трехмерном.

Что вы под этим подразумеваете? Задача о классификации вложений многообразий имеет свои особенности в разных диапазонах размерностей и даже для вложений сфер в сферы она далеко не всегда проще, чем задача об обычных одномерных узлах в трехмерном, хотя иногда эта классификация действительно известна, в том числе в нетривиальных диапазонах, и уже хотя бы поэтому проще чем узлы.

[Anton_Peplov]

Значит, таки напутал, извините. Похоже, я подразумевал этот результат

Leeb в сообщении #1613041 писал(а):

Любые одномерные узлы (т.е. вложения окружности, для начала хотя бы гладкие или кусочно-линейные) в $R^4$ развязываются

но за давностию лет забыл даже то, чего не знал.

[B3LYP]

Leeb в сообщении #1613041 писал(а):

Любые одномерные узлы (т.е. вложения окружности, для начала хотя бы гладкие или кусочно-линейные) в $R^4$ развязываются (изотопно вложению незаузленной "круглой" окружности), и вообще, любое зацепление (вложение конечного набора непересекающихся окружностей) изотопно тривиальному (т.е. набору из незаузленных окружностей, отделимых друг от друга набором гиперплоскостей). Есть и более общий результат для вложений любых многообразий в любые многообразия достаточно большой размерности. Естественно, вы не будете с этим разбираться, как и в любой из ваших ранее созданных тем. (Здесь надо начинать с того какую именно эквивалентность вложений хотим рассматривать, они разные бывают с разными исходами).

А как с двумерными узлами? Т.е. в в $R^4$ можно, очевидно, завязать в узел плоскость. Может быть узлы с ней будут более замороченными, т.к. соприкосновения с соседней плоскостью будут возможны с двух разных сторон?

[Leeb]

B3LYP в сообщении #1613128 писал(а):

Leeb в сообщении #1613041 писал(а):

Любые одномерные узлы (т.е. вложения окружности, для начала хотя бы гладкие или кусочно-линейные) в $R^4$ развязываются (изотопно вложению незаузленной "круглой" окружности), и вообще, любое зацепление (вложение конечного набора непересекающихся окружностей) изотопно тривиальному (т.е. набору из незаузленных окружностей, отделимых друг от друга набором гиперплоскостей). Есть и более общий результат для вложений любых многообразий в любые многообразия достаточно большой размерности. Естественно, вы не будете с этим разбираться, как и в любой из ваших ранее созданных тем. (Здесь надо начинать с того какую именно эквивалентность вложений хотим рассматривать, они разные бывают с разными исходами).

А как с двумерными узлами? Т.е. в в $R^4$ можно, очевидно, завязать в узел плоскость. Может быть узлы с ней будут более замороченными, т.к. соприкосновения с соседней плоскостью будут возможны с двух разных сторон?

Есть нетривиально заузленные сферы в $R^4$ или $S^4$, что соответствует заузленным плоскостям. Есть большое количество сложных классификационных результатов в этом направлении, не только для двумерных сфер.


Нет, вам это далеко не очевидно, судя по вашим сообщениям в других темах, открытых вами или не вами. "Соприкосновения с соседней плоскостью с разных сторон" это утверждение, теряющее смысл при любой попытке его уточнить (тем более, что в $R^4$ нет неразводимых зацеплений сфер). Если хотите действительно изучать топологию, то решайте задачи, разбирайте статьи всерьёз, а не набрасывайте на вентилятор псевдонаучными высказываниями без смысла в ожидании, что вам все разжуют и объяснят "как для первоклассника".

[Mikhail_K]

Leeb
Существует ли литература на русском языке о многомерных аналогах узлов (заузленных сферах в многомерных пространствах)? Буду рад, если подскажете.